矩阵可对角化的判定条件文献综述

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1、文献综述矩阵可对角化的判定条件一、前言部分矩阵(matrix)是代数学中的一个基本概念，也是代数学的主要研究对象之一.“矩阵”（该词来源于拉丁语，表示一排数的意思）这一术语是英格兰数学家西尔维斯特(J.J.Sylvester,1814—1897)在1850年首先使用的.从19世纪50年代开始，英国数学家凯莱和西尔维斯特进一步发展了矩阵理论，且把矩阵作为极为重要的研究工具.凯莱一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章.1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系

2、统地阐述了关于矩阵的理论.文中他给出了现在通用的一系列定义，如两个矩阵的相等、零矩阵、单位矩阵、两个矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆矩阵、转置矩阵等.矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支—矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵及其理论现已应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域.如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、计算机层析及X射线照相术等方面都有广泛的应用.随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际

3、问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决.于是作为处理离散问题的线性代数和矩阵计算，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础.矩阵是一个重要的数学工具，不仅在数学中有广泛的应用，在其他学科中也经常遇到.它在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置.矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分，在矩阵论中占有重要的作用，研究矩阵对角化问题很有实用价值，关于矩阵对角化问题的研究，这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究，没有进行系统的分类归纳和总

4、结.因此，我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结，对一些理论进行应用和举例，给出算法.特别给出了解题时方法的选择.5矩阵的应用在现代社会中是十分广泛的，本文围绕有限维线性空间上的线性变换对角化问题与矩阵可对角化相互转换进行研究．根据矩阵的多项式对矩阵对角化问题进行判断，这种方法不仅为探讨矩阵对角化提供了一个简便的工具，也把矩阵和有限维空间相结合．在现代科技中，很多问题都是运用此类方式.矩阵对角化问题只是矩阵理论中的一个小问题，但是一个基础问题，这样矩阵可对角化作为矩阵理论里的最基础的知识，就显得格外的重要．通过对《高等代数》，《科学计算方法》等有关资料的

5、查阅和分析研究，为我们对判定矩阵的可对角化的条件提供了相关依据和理论.二、主题部分(1)设，其中为互不相交的循环置换，且则矩阵A可广义对角化的充要条件是并且关于矩阵A的最小多项式为关于矩阵A的最小多项式为必要时调整的排列顺序.利用子空间关于矩阵的最小多项式研究了矩阵可广义对角化的充要条件，给出了矩阵可广义对角化的一种算法.做了矩阵广义对角化的探讨[1].(2)设是阶方阵，是的仅有的两个互异的特征根，则可对角化当且仅当并且的线性无关的列向量组就是的属于的线性无关的特征向量；的线性无关的列向量组就是的属于的线性无关的特征向量.有关阶方阵对角化问题的研究有很多

6、，针对数域上的阶方阵，当仅有两个互异的特征根，并且与对角阵相似时，给出了矩阵的特征向量的一种求法，从而得到可逆矩阵使为对角形矩阵.给出了一种更简单的判别仅有两个互异特征根的矩阵与对角阵相似以及求特征向量的方法[2].任意阶矩阵可以对角化的充要条件是相似于一个阶循回阵，5形式最简单的矩阵是对角阵.矩阵对角化是线性变换和化二次型到主轴上问题中经常遇到并需要解决的一个关键问题，但不是任何一个阶矩阵都可以对角化,利用循回阵的性质找出一个矩阵可对角化的充要条件[3].（分解）设的前个顺序主子矩阵非奇异，则存在单位下三角阵及上三角阵,使而且这样的分解是唯一的.矩阵方

7、程的快速求解是矩量法计算电大问题的关键,LU分解是求解线性方程组的有效方法.该文详细地分析了DoolittleLU分解过程,基于分解过程的特点,在MPI（Message-Passinginterface）并行环境下,提出了按直角式循环对进程进行任务分配的并行求解方法.实验证明该方法可以有效地减少进程间数据通信量,从而加快计算速度[4].数域上级矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量此时令则其中是所属的特征值，上述对角矩阵称为的相似标准形，除了主对角线上元素的排列次序外，的相似标准形是惟一的.数域上级矩阵可对角化的充分必要条件是：的属于不同特征

8、值的特征子空间的维数之和等于.矩阵是高等代数研究及解决问题的一个重要的工具,在高