【数学与应用数学专业】【毕业论文】若干重要不等式的推广及应用

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1、（20__届）本科毕业论文若干重要不等式的推广及应用22摘要：在数学研究领域里，不等式问题占有广阔的天地。因此本文综述了几类重要不等式的推广及证明，如Hadmard不等式、Cauchy不等式、Abel不等式、Janous不等式等，同时举例说明重要不等式在各个方面的具体应用。关键词：重要不等式；Hadmard不等式；Cauchy不等式；22ThepopularizationandapplicationofsomeimportantinequationsAbstract：Inequalitiesho

2、ldvastworldinmathematicsresearches.ThispapermainlyintroducesthebasicformandproofsofCauchyinequality,Hadmardinequality,AbelinequalityandJanousinequality.Moverover,thethepaperalsogivesasummaryofthepromotionoftheseinequalitiessystematically,whilediscuss

3、ingemphaticallythespecificapplicationsoftheseimportantinequationsinallaspects. Keywords：Importantinequation;Hadmardinequality;Cauchyinequality;221前言12常用重要不等式的推广22.1Hadmard不等式及推广22.1.1Hadmard不等式22.1.2Hadmard不等式的推广32.2Cauchy不等式及推广52.2.1Cauchy不等式52.2.2C

4、auchy不等式的推广62.3Abel不等式及推广82.3.1Abel不等式82.3.2Abel不等式的推广82.4Janous不等式及推广102.4.1Janous不等式102.4.2Janous不等式的推广113常用重要不等式的应用143.1在代数中的应用143.2在几何中的应用153.3最值极值问题中的应用173.4不等式之间的相互推导183.5在概率论中的应用194总结21致谢22参考文献23221前言众所周知不等式作为数学的组成部分以及重要的推理工具，被广泛地应用到数学的各个领域。在分

5、析学中不等式的作用更是不可替代。而其中一些常用不等式如Hadmard不等式、Abel不等式、Janous不等式、Cauchy不等式更在数学基础理论的创建、延伸、和应用上起着非凡的作用，这使得不等式的研究成了当前数学研究的一个热点。近年来这些重要不等式一直受到广泛的关注，不少学者对他们进行了较深入的研究与推广。本文主要是综合归纳相关的研究成果，如Hadmard不等式、Abel不等式、Janous不等式、Cauchy不等式的基本形式和相关证明，并对以上四个重要不等式的推广做了较系统综述，并举例说明了

6、它们在各方面的具体应用。在数学领域中灵活运用不等式可以使一些较为复杂的问题迎刃而解，一套数学理论最终甚至可以归结为一个不同寻常的不等式。但是在部分情况下不等式还存在一定的局限性，因此探讨重要不等式能够在哪些情况下发挥作用，是否能够得到进一步的推广等问题就显得非常有必要。大量的学者对于不等式的研究已经趋于完善，但是仍旧缺少系统性地归纳和梳理。本文希望通过对现有研究进行总结与归纳，强化不等式作为数学领域的一个组成部分和一项推理工具的作用，以期更快捷有效地解决部分数学问题，并为今后相关的生活、工作、学

7、习提供一定的参考价值。222常用重要不等式的推广重要不等式是指在数学的计算与证明问题中常见的不等式。包括排序不等式、均值不等式、完全的均值不等式、冥平均不等式、权方和不等式、Cauchy不等式、切比雪夫不等式和琴生不等式等等。鉴于不等式在科学研究中的重要地位，众多学者对重要不等式继续进行研究，获得了一些更好的结果。2.1Hadmard不等式及推广2.1.1Hadmard不等式定理2.1：设是是的连续凸函数，则对每一对有：证明：因为是开区间上的连续凸函数，所以是连续的，因此可积。因为不仅是的中点，

8、同时也是和的中点，其中利用为连续凸函数，则就有不等式上式两边对从到积分，经计算后就可以得到：另一方面由于是连续凸函数又可以得到：22证毕。Hadmard不等式（1.1）在不等式理论中占有重要地位，它不仅用来为证明其他不等式提供理论依据，还在其他问题的求解中有着广泛的应用，例如求最值问题和求范围问题等2.1.2Hadmard不等式的推广引理1：设是中点凸函数，即，记，则有，其中。引理2：设为连续凸函数，如果那么如果为上的递增（减）函数，且，那么成立。引理3：设为连续凸函数，且记。如果，那么22如果