几类常系数线性微分方程解法讨论开题报告

《几类常系数线性微分方程解法讨论开题报告》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、开题报告几类常系数线性微分方程解法讨论　　　　　　　　　　　　一、选题的背景、意义常微分方程是伴随着微积分的产生和发展而成长起来的一门历史悠久的学科。从诞生之日起很快就显示出这门课程不仅在数学科学领域起着重要的作用，而且在物理、经济、工程等领域也是它在应用上的重要作用。特别是作为Newton力学的得力助手，在天体力学和其它机械力学领域内显示了巨大的功能。SirINewtont通过解微分方程证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆，从理论上得到了行星运动的规律。海王星的存在是天文学家ULeVerrier和JAda

2、ms先通过微分方程的方法推算出来，然后才实际观测到的，这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大能量。随着科学技术的发展和社会的进步，常微分方程的应用不断扩大和深入。时至今日，可以说常微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应用，在数学学科内部的许多分支中，常微分方程是最常用的重要工具之一，也是整个数学课程体系中的重要组成部分，常微分方程每一步进展都离不开其他数学分支的支援如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程

3、的应用及理论研究提供了非常有力的工具。反过来，常微分进一步发展的需要，也推动着其他数学分支的发展。现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题大家知道，许多数学题都不仅仅

4、只有一种解题方法，对于常系数线性微分方程也是一样，我们可以用很多种方法来求解它。例如，特征方程法、常数变易法、升降法、叠加法等等。本文的主要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关知识，研究讨论常系数线性微分方程的解法。通过研究讨论求解常系数线性微分方程的多种方法从而认识到它们各自的优缺点以及适用性。先从定义出发，给出相关的一些基本概念，如微分方程、常微分方程等等。定义1：一般地，联系着自变量、未知函数及其导数的关系式，叫做微分方程.定义2：如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方

5、程.定义3:常系数线性微分方程是线性微分方程中的一个概念。n阶线性微分方程（1.1）其中及都是区间上的连续函数。如果则方程（1.1）变成(1.2)我们称它为n阶齐次线性微分方程，简称齐次线性微分方程，而称一般的方程（1.1）为n阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程。定义4：设齐次线性微分方程中所有系数都是常数，即方程有如下形状（1.3）其中为常数。我们称（1.3）为n阶常系数齐次线性微分方程；若(1.4)其中为常数,而为连续函数。我们称（1.4）为n阶常系数非齐次线性微分方程。研究讨论常系数线性齐次

6、微分方程的解法（1）特征方程法（在二阶常系数齐次线性微分方程中具体介绍）方程称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中均为常数。如果是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么就是它的通解.我们看看,能否适当选取,使满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将代入方程得由此可见,只要满足代数方程,函数就是微分方程的解。方程叫做微分方程的特征方程.特征方程的两个根可用公式求出。特征方程的根与通解的关系：（a）特征方程有两个不相等的实根时,函数、是方程的两个线性无关的解.因此方程的通解为.（b）特征方程有两个相等的实

7、根时,函数、是二阶常系数齐次线性微分方程两个线性无关的解.因此方程的通解为.（c）特征方程有一对共轭复根时,函数、是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数、是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.函数和都是方程的解,而由欧拉公式,得，，，，。故、也是方程解。可以验证,、是方程的线性无关解。因此方程的通解为。求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤为：第一步写出微分方程的特征方程第二步求出特征方程的两个根。第三步根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解。（2）常数变易法将常数变易法应用于二、三阶

8、常系数齐次线性微分方程求解，得到一种易于掌握的方法，其优点是无需求特解，无需求基本解组，但可求通解。研究讨论常系数线性非齐次微分方程的解法（1）常数变易法将常数变易法应用于二、三阶常系数非齐次线性微分方程求解，得到一种易于掌握的方法，其优点是无需求特解，无需求基本解组，但可求通解。（2）降阶法与升阶法介绍两种求常系数非齐次线性微分方程特解的简便方法,并且给出了一些实例,从而避免了一般教材介绍的利用待定系数法求特解