高等数学在初等数学中的应用　　　　文献综述

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1、文献综述高等数学在初等数学中的应用　　　　一、前言部分随着新课程改革的不断进行，高等数学的知识在高考所占的比重也越来越大，所以，作为高中教师，就必须认真研究新的课程标准、新的考试大纲，认真研究、分析高中数学中的新知识——高等数学的知识方法在中学数学中的应用问题。高等数学是在初等数学的基础上发展起来的．与初等数学有着紧密的联系。许多初等数学无法解答的问题高等数学都给出了解答。因此，帮助学生学会用高等数学的思想、方法，从不同的角度去研究初等数学的问题。这些问题可以是与中学教学内容密切相关，但又未能完全解决，而应用所学高等数学知识可以解决的理论、方法问题，也可以是初等数学中己经

2、解决，而运用高等数学的知识，从另一更高的角度重新认识初等数学中重要的概念、理论实质及其背景，还可以借助于高等数学的方法来统一处理和解决初等数学中一些或一类问题(尽管这些问题可以用初等的方法来解决)等等。总之，应用高等数学的方法使学生对初等数学的本质，以及与高等数学之间的内在联系，有了深刻的认识。所以本论文选题的基本内容是高等数学方法在初等数学中的应用研究。主要论述的高等数学的方法有微积分方法、行列式、Lagrange插值公式、Laplace展开定理、线性方程组的方法。本论文研究了初等数学、高等数学的概念、范畴、关系，能使学生对此三个相关联的概念加以区别；同时以大量、翔实的

3、中学数学的范例为依据，尤其是近几年的高考试题，充分说明了高等数学方法在解决初等数学的相关问题上，具有明显的作用，并且尽可能地使用现有中学数学教材讲到的知识、方法。本论文运用高等数学的先进观点地分析和处理中学数学内容的问题，主要表现为以下三个方面：一是将高等数学的思想和办法渗透到初等数学中去；二是用具体材料来说明高等数学对初等数学的指导意义：三是指出初等数学某些难以处理的问题的高等数学背景。二、主题部分1.初等数学[1]初等数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能；深

4、层知识主要指数学思想和数学方法。表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识。学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识。那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高：反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛。因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使

5、学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。在初等数学中，含有很多重要且基本的数学思想，如几何证明思想、记算思想、极限思想、随机思想、数学结构思想等。这些数学思想几乎包括了初等数学的所有内容；而且，结合学生得到思维能力和他门的实际生活经验，这几种数学思想有可能被他们理解和掌握：在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多。另外，这些思想对于学习高等数学来说，也是最基本且罩重要的。因此，在中学数学教学中，突出这些数学思想是很有必要的。2.高等数学[1]作为基础课的高等数学，主要是由极限论、微分学、积分学、级数理论、解析几何、微分方程等

6、六部分内容组成一个有机的统一体。其中极限论是基础，是高等数学活动的“舞台”；微分、积分是高等数学的核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的有关局部性质，积分则是从宏观上揭示函数的有关整体性质，牛顿的微积分基本定理，在微分和积分之间起了桥梁作用；级数理论是研究解析函数的主要手段，无穷级数是从离散的侧面去揭示函数的有关性质，它既是表现函数的工具，又是用来进行计算的工具，广义积分又把无穷级数与积分的内容沟通起来了；解析几何为微积分的研究提供了解析工具，为揭示函数的性状提供了直观模型；微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分有机的联系起来，揭示了它

7、们之间内在的依赖转化关系。因此，高等数学内容结构大致可用框图这样给出：微分方程积分学不定积分微分学定积分极限理论解析几何级数理论事实上，这个框图反映的高等数学内容，仅仅是高等数学体系的一部分，是师范生必学的内容，随着专业的不同，高等数学的内容将向不同的方向延拓，也将随着时代的发展和数学的发展而不断地注入新的数学思想、方法，如非标准分析、离散数学基本理论、模型思担等，使得高等数学的内容更具魅力。3.高等数学和初等数学的关系[1]尽管高等数学的高度抽象性，使它与初等数学拉大了距离，但从数学发展的历史来看，高等数学是多级抽象的结果。