高中数学第一章直线多边形圆1.2圆与直线1.2.4切割线定理学案

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1、1.2．4　切割线定理课标解读1.掌握切割线定理及其推论．2．会用切割线定理及推论解决问题.1．切割线定理(1)文字叙述过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)图形表示图1－2－60如图1－2－60，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.2．切割线定理的推论(1)文字叙述过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积．(2)图形表示如图1－2－61，PAB与PCD是⊙O的两条割线

2、，则有PA·PB＝PC·PD.图1－2－61193．切割线定理的逆定理(1)文字叙述给定⊙O外一点P，若割线PAB交⊙O于A，B两点，点T在⊙O上，且PT2＝PA·PB，则PT是⊙O的切线．(2)图形表示图1－2－62如图1－2－62，PAB是⊙O的割线，点T在⊙O上，若PT2＝PA·PB，则PT是⊙O的切线．1．应用切割线定理及其推论的前提条件是什么？【提示】　只有从圆外一点才可能产生切割线定理或其推论，切割线定理是指一条切线和一条割线，而其推论则是指两条割线，只有弄清前提，才能正确运用定理．2．应用切

3、割线定理应注意什么？【提示】　应用切割线定理应记清关系式，防止做题时出错．(1)如图所示，把PC2＝PA·PB错写成PC2＝PO·PB；(2)如图所示，把关系式PT2＝PB·PA错写成PT2＝PB·BA，把关系式PB·PA＝PD·PC错写成PB·BA＝PD·DC.19切割线定理图1－2－63　如图1－2－63，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2＝EC·EB.【思路探究】　由于EA2＝EC·EB，故只需证ED＝EA.【自主解答】　如题图，∵AE是

4、圆的切线，∴∠ABC＝∠CAE.又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，从而∠ABC＋∠BAD＝∠CAE＋∠CAD.∵∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，19∠DAE＝∠CAE＋∠CAD，∴∠ADE＝∠DAE，故EA＝ED.∵EA是圆的切线，∴由切割线定理知，EA2＝EC·EB.而EA＝ED，∴ED2＝EC·EB.切割线定理给出线段之间的关系，在计算与证明有关线段关系时，应注意灵活运用．　图1－2－64(2012·衡阳六校联考)如图1－2－64，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D

5、，CD＝2，AB＝BC＝3，则AC的长为________．【解析】　由切割线定理知CD2＝BD·AD＝BD·(3＋BD)，即(2)2＝BD2＋3BD，解得BD＝4或BD＝－7(舍去)．∵∠BDC＝∠ADC，∠DCB＝∠CAD，∴△CAD∽△BCD，∴＝，即＝，解得AC＝.【答案】　切割线定理的推论19图1－2－65　如图1－2－65，PAB和PCD为圆的两条割线，交圆于A，B和C，D各点，若PA＝5，AB＝7，CD＝11.求AC∶BD.【思路探究】　线段AC、BD分别在△PAC和△PBD中，可考虑它们的相

6、似关系．【自主解答】　由切割线定理的推论知，PA·PB＝PC·PD①即＝，又∠P为公共角，∴△PAC∽△PDB.∴＝.②又∵PA＝5，AB＝7，CD＝11，∴PB＝12.由①知5×12＝PC(PC＋11)，∴PC＝4或PC＝－15(舍去)，∴PD＝PC＋CD＝4＋11＝15.由②得＝＝，即AC∶BD＝1∶3.1．本题求解的关键是证明△PAC∽△PDB，而证明的依据是切割线定理的推论．2．切割线定理的推论在证明、求值等方面有着广泛的应用，在证明三角形相似以及利用相似解决问题中起重要作用．19图1－2－66(

7、2012·湖南高考)如图1－2－66所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．【解析】　设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的切割线定理的推论知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝.【答案】　定理的综合应用19图1－2－67　如图1－2－67，P是⊙O的直径CB的延长线上一

8、点，PA和⊙O相切于A，若PA＝15，PB＝5.(1)求tan∠ABC的值；(2)弦AD使∠BAD＝∠P，求AD的长．【思路探究】　求tan∠ABC可利用△ABC中边角关系求出；而AD的长，可综合利用切割线定理和图形中的相似三角形，建立边长关系求出．【自主解答】　(1)如图，连接AC，AB，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.又∵PA是⊙O的切线，∴∠BAP＝∠C.又∵∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA，∴＝＝＝3.∴在Rt