2019-2020年高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第4讲 平面向量应用举例习题 理 新人教A版

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1、2019-2020年高考数学一轮复习第五章平面向量第4讲平面向量应用举例习题理新人教A版一、填空题1.已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，

2、b

3、＝，则a·b＝________.解析　因为a＝(－2，－6)，所以

4、a

5、＝＝2，又

6、b

7、＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝

8、a

9、·

10、b

11、·cos60°＝2××＝10.答案　102.在△ABC中，(＋)·＝

12、

13、2，则△ABC的形状一定是________三角形(填“等边”、“等腰”、“直角”、“等腰直角”).解析　由(＋)·＝

14、

15、2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.又根据已知条件不能

16、得到

17、

18、＝

19、

20、，故△ABC一定是直角三角形.答案　直角3.(xx·深圳调研)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，则·＝________.解析　由余弦定理得cosA＝＝＝－，所以·＝

21、

22、·

23、

24、cosA＝2×2×＝－2.答案　－24.已知

25、a

26、＝2

27、b

28、，

29、b

30、≠0，且关于x的方程x2＋

31、a

32、x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________.解析　由已知可得Δ＝

33、a

34、2＋4a·b＝0，即4

35、b

36、2＋4×2

37、b

38、2cosθ＝0，∴cosθ＝－，又∵0≤θ≤π，∴θ＝.答案　5.(xx·杭州质量检测)设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心).若＝＋，则∠BAC等于

39、________(用角度表示).解析　取BC的中点D，连接AD，则＋＝2.由题意得3＝2，∴AD为BC的中线且O为重心.又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°.答案　60°6.(xx·广州综合测试)在△ABC中，若·＝·＝2，则边AB的长等于________.解析　由题意知·＋·＝4，即·(＋)＝4，即·＝4，∴

40、

41、＝2.答案　27.(xx·天津十二区县重点中学联考)在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的最大值为________.解析　以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则C(1，1)，M，设E

42、(x，0)，x∈[0，1]，则·＝(1－x，1)·＝(1－x)2＋，x∈[0，1]时，(1－x)2＋单调递减，当x＝0时，·取得最大值.答案　8.(xx·苏北四市模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则

43、2a－b

44、的最大值与最小值的和为________.解析　由题意可得a·b＝cosθ－sinθ＝2cos，则

45、2a－b

46、＝＝＝∈[0，4]，所以

47、2a－b

48、的最大值与最小值的和为4.答案　4二、解答题9.(xx·陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行.(1)求A；(2)若a＝，b＝2，求

49、△ABC的面积.解　(1)因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝，由于0＜A＜π，所以A＝.(2)法一　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，故△ABC的面积为S＝bcsinA＝.法二　由正弦定理，得＝，从而sinB＝，又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝，故sinC＝sin(A＋B)＝sin＝sinBcos＋cosBsin＝.所以△ABC的面积为S＝absinC＝.10.(xx·南通调研)

50、已知向量m＝，n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围.解　m·n＝sincos＋cos2＝sin＋×cos＋＝sin＋.(1)∵m·n＝1，∴sin＝，cos＝1－2sin2＝，cos＝－cos＝－.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C).∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝

51、sinA，且sinA≠0，∴cosB＝，B＝.∴0＜A＜.∴＜＋＜，＜sin＜1.又∵f(x)＝m·n＝sin＋，∴f(A)＝sin＋，故1＜f(A)＜.故函数f(A)的取值范围是(建议用时：25分钟)11.(xx·衡水中学一调)已知

52、a

53、＝2

54、b

55、≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋

56、a

57、x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是________.解析　设a与b的夹角为θ.∵f(x)＝x3＋

58、a

59、x2＋a·bx.∴f′(x)＝x2＋

60、a

61、x＋a·b.∵函数f(x)在R上有极值，