全国版2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线学案

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1、全国版2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线学案板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点1　双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(

2、F1F2

3、＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于

4、F1F2

5、且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M

6、

7、

8、MF1

9、－

10、MF2

11、

12、＝2a}，

13、F1F2

14、＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当ac时，P点不存在．考点2　双曲线的

15、标准方程和几何性质[必会结论]双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2

16、AB

17、.(6)双曲线的离心率公式可表示为e＝.[考点自测]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内

18、到两点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离之差等于1的点的轨迹是双曲线．(　　)(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)(3)与双曲线－＝1(mn>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．(　　)(4)等轴双曲线的离心率等于，且渐近线互相垂直．(　　)(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√2．[课本改编]双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是(　　)A

19、．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±2x答案　A解析　由题意知－＝1，y＝±x.3．[xx·广东模拟]已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案　B解析　由题意设C的方程为－＝1(a>0，b>0)．由右焦点为F(3,0)，可知c＝3，又因为离心率等于，所以＝，所以a＝2.由c2＝a2＋b2，知b2＝5，故双曲线C的方程为－＝1.故选B.4．[xx·福州质检]设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且

20、PF1

21、＝5，则

22、P

23、F2

24、＝(　　)A．5B．3C．7D．3或7答案　D解析　∵

25、

26、PF1

27、－

28、PF2

29、

30、＝2，∴

31、PF2

32、＝7或3.5．[xx·北京高考]若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.答案　2解析　由双曲线的标准方程知a＝1，b2＝m，c＝，故双曲线的离心率e＝＝＝，∴1＋m＝3，解得m＝2.6．[xx·全国卷Ⅲ]双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.答案　5解析　∵双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.板块二　典例探

33、究·考向突破考向　双曲线的定义及标准方程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例1　(1)[xx·天津高考]已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案　B解析　由题意可得＝，即c＝a.又左焦点F(－c,0)，P(0,4)，则直线PF的方程为＝，化简即得y＝x＋4.结合已知条件和图象易知直线PF与y＝x平行，则＝，即4a＝bc.故解得故双曲线方程为－＝1.故选B.(2)[xx·全国卷Ⅲ]已知双

34、曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1　　D.－＝1答案　B解析　由y＝x可得＝.①由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程为－＝1.故选B.触类旁通(1)若涉及双曲线上的点，在解题时要首先想到双曲线上的任意点均满足双曲线的定义．(2)利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲

35、线－＝1，有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．【变式训练1】　(1)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案　A解析