复变函数与积分变换重要知识点.pdf

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1、复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：2z
xiy，xy,是实数,xz

Re,yzIm.i
1.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示221）模：zxy
；2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Argz（多值函数）；主值argz是位于(,]中的幅角。y3）argz与arctan之间的关系如下：xy当x0,argz
arctan；xyyz
0,argarctan当x；x0,yz
0,argarctanyx4）三角表示：zz
cosisin，其中
a

2、rgz；注：中间一定是“+”号。i5）指数表示：zze
，其中
argz。(二)复数的运算1.加减法：若z
xiyz,
xiy，则zzxxiyy
1112221212122.乘除法：1）若z
xiyz,
xiy，则111222zz12
xx12yy12ixyxy2112；z111xiyx1122iyxiyxx121yy21yx22yx1


i。2222z2222222xiyxiyxiyx22yx22y2）若ii12zzezze

,,则1122zzzz
zzei

3、12；1
1ei121212zz223.乘幂与方根ininnn1）若zz

(cosisin)ze，则zzninze
(cossin)
。2）若izz

(cosisin)ze，则2/33122kknzz
ncosisin(k
0,1,2
n1)（有n个相异的值）nn3/33（三）复变函数（例题1.1、1.2）1．复变函数：wfz
，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2．复初等函数1）指数函数：zxzzee
cosyiysin，在z平面处处

4、可导，处处解析；且ee
。z注：e是以2i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）2）对数函数：Lnz
lnzi(argz2k)(0k
,1,2)
（多值函数）；主值：lnzz
lnizarg。（单值函数）1Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且lnz
；z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：bbLnabbLnzae
(a0)；ze
(z0)bb1注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且z
bz。izizizizeeeesinzcosz4）三角函数：sin

5、z


,cosz,tgz,ctgz
2iz2cossinz4/33sin,coszz在z平面内解析，且sinzzzz

cos,cossin注：有界性sinzz1,cos1不再成立；（与实函数不同）zzzzeeee5）双曲函数shz

,chz；22shz奇函数，chz是偶函数。shzchz,在z平面内解析，且shz

chzchz,shz。5/33（四）解析函数的概念（例题2.1-2.4）1．复变函数的导数fz00zfz1）点可导：fz=lim；0z0z2）区域可导：fz在区域内点

6、点可导。2．解析函数的概念1）点解析：fz在z及其z的邻域内可导，称fz在z点解析；0002）区域解析：fz在区域内每一点解析，称fz在区域内解析；3）若fz()在z点不解析，称z为fz的奇点；003．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；6/33（五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：fz
uxy,,ivxy在z
xiy可导uvuvuxy,和vxy,在xy,可微，且在xy,处满足CD条件：

,

7、xyyxuv此时，有fz
i。xx2．函数解析的充要条件：fz
uxy,,ivxy在区域内解析uvuvuxy,和vxy,在xy,在D内可微，且满足CD条件：

,；xyyxuv此时fz
i。xx注意：若uxyvxy,,,在区域D具有一阶连续偏导数，则uxyvxy,,,在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明uv,具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数fzuiv()
一定是可导或解析的。3．函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定

8、义）7/332）利用充要条件（函数以fzuxyivxy
,,形式给出）3）利用可