张量分析基础.pdf

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1、张量分析基础FundamentalofTensorAnalysisQing-YuZhangStateKeyLaboratoryforMaterialsModificationbyLaser,IonandElectronBeams学习与思考我的物理学家第一定律：“如果没有实验学家的话，理论学家就倾向于漂浮。”我的物理学家第二定律：“没有理论学家，实验学家倾向于摇摆不定。”⎯⎯李政道标量、矢量和二阶张量∑标量：与方向无关，如密度、质量、温度等；∑矢量：既有大小又有方向，如力、速度、电场强度等；∑二阶张量：例—欧姆定律Ej—各向同性：jE=σ⎡j1⎤⎡σ11

2、σ12σ13⎤⎡E1⎤—各向异性：⎢⎥⎢⎥⎢E⎥j=σσσ⎢2⎥⎢212223⎥⎢2⎥⎢j⎥⎢σσσ⎥⎢E⎥⎣3⎦⎣313233⎦⎣3⎦二阶张量的表示⎡P1⎤⎡T11T12T13⎤⎡Q1⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥P=TTTQ⎢2⎥⎢212223⎥⎢2⎥⎢P⎥⎢TTT⎥⎢Q⎥⎣3⎦⎣313233⎦⎣3⎦爱因斯坦求和规则：傀标表示法傀标表示必须成对出现3Pi=∑TijQj(i=1,2,3)A+BCD=EFj=1ijikklljikkjP=TQ(i,j=1,2,3)iijj[]A+[]B[C][D]=[E][F]自由傀标下标X坐标变换3X’3∑坐标轴变换θX2’23*⎡

3、e1⎤⎡a11a12a13⎤⎡e1⎤θ21⎢*⎥⎢⎥⎢⎥X2⎢e2⎥=⎢a21a22a23⎥⎢e2⎥θ22⎢*⎥e⎢aaa⎥⎢e⎥⎣3⎦⎣313233⎦⎣3⎦X1X’∧1*a=cos(ee)ijij∑矢量变换*⎡e1⎤⎡a11a12a13⎤⎡e1⎤⎡e1⎤[]***⎢*⎥[]***⎢⎥⎢⎥[]⎢⎥PPPe=PPPaaae=PPPe123⎢2⎥123⎢212223⎥⎢2⎥123⎢2⎥⎢*⎥e⎢aaa⎥⎢e⎥⎢e⎥⎣3⎦⎣313233⎦⎣3⎦⎣3⎦**−1P=PAP=PA线性变换∑线性变换：矢量长度不变⇒3个独立矩阵元**PP=PAPA=PAAP=PP−1

4、AA=IAA=I⎡a11a12a13⎤⎡a11a21a31⎤⎡100⎤A=A−1A=±1⎢⎥⎢⎥⎢⎥aaaaaa=010⎢212223⎥⎢122232⎥⎢⎥⎢aaa⎥⎢aaa⎥⎢001⎥∑矢量变换⎣313233⎦⎣132333⎦⎣⎦⎡a11a21a31⎤P*=PA−1=PA[]P*P*P*=[]PPP⎢aaa⎥123123⎢122232⎥⎢aaa⎥⎣132333⎦**⎡P1⎤⎡a11a12a13⎤⎡P1⎤P=PA=AP=AP⎢*⎥⎢⎥⎢⎥P=aaaP*⎢2⎥⎢212223⎥⎢2⎥P=PP=AP⎢P*⎥⎢aaa⎥⎢P⎥⎣3⎦⎣313233⎦⎣3⎦置换矩阵

5、∑置换矩阵⎧1i=jei⋅ej=δijδij=⎨=⎩0i≠jδijTjlTil⎡100⎤δP=P[]⎢⎥ijjiδij=⎢010⎥δT=TδP=Piljljiijij⎢⎣001⎥⎦∑反对称三重积⎧1i,j,k顺序轮换⎪ei×ej=εijkejεijk=⎨−1i,j,k反序轮换⎪⎩0两个以上角标同二阶张量的变换**P⇔P→Q⇔QP*=ATAQ*P*=APP*=aP**iikkPi=aikTklajlQjP=TQP=TQP*=T*Q*P*=T*Q*kklliijj**Q=AQQ=aQT*=ATAT*=aTaljljijikkljl**二阶张量T=aaTT=

6、aaTijikjlklijkiljkl**三阶张量T=aaaTT=aaaTijkiljmknlmnijklimjnklmn**四阶张量T=aaaaTT=aaaaTijklimjnkolpmnopijklminjokplmnop张量的性质∑张量的定义—张量是与坐标系有联系的一组量，并满足一定的坐标变换规律。∑张量的性质—任何两个张量相乘所得到的新张量的阶数等于原张量阶数之和；—两个张量间的比例系数一般是一个张量，其阶数等于原张量阶数之和；—张量的变换规律与坐标乘积的变换规律相同；—变换矩阵与二阶张量的区别二阶对称张量165∑对称张量：Tij=Tji624

7、—对称张量有6个对立分量543—简约表示：11→1、22→2、33→3、23→4、13→5、12→6∑反对称张量：T=-T0−γβijji—反对称张量有3个对立分量γ0−α—简约表示：23→-α、13→β、12→-γ−βα0二阶对称张量的示性二次曲面∑二次曲面方程222Sx+Sx+Sx+2Sxx+2Sxx+2Sxx=1111222333232331311212∑坐标变换Sxx=1ijij—二次曲面方程系数与张量分量x=ax*x=ax*具有相同的变换规律；ikikjljl—二次曲面方程称为张量S的示*****性二次曲面；Saaxx=Sxx=1ijkilj

8、klklkl—示性二次曲面可描述具有二阶*对称张量性质的物理特性；S=aaSklkiljij示