若当标准型求解.pdf

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1、Jordan标准形其中我们称若当标准型的基本性质：•任意矩阵A若当标准型J可以写成J=D+R的形式,那么DR=RD证明：由于D和R为相同划分的块对角矩阵，因此乘积对应的块等于相应块的乘积，而D中相应分块为单位单位矩阵的数乘，即101=1i10因此结论成立.Jordan标准形(续)定理1.29.设矩阵A为复数域C的矩阵，特征多项式的分解存在，则存在非奇异矩阵P使得P1AP=J.（注：其中P不唯一.）定理1.30(基本定理)每个n阶复矩阵A都与一个Jordan标准形相似,这个Jordan标准形除去其中Jo

2、rdan块的排列次序外，是由A唯一确定的。若当标准型的计算1.首先，给出如下定义：2.矩阵的化简方阵A的Jordan标准形变换矩阵P的求法•目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA，使AP=PJA•求法与步骤：根据前面的计算求出初等因子组f()IA()k1()k2()ks12sJ1(1)J()矩阵A和J的特征值相等J22AAJ()ssAPPJ()iiii细分矩阵P和J，在Jordan块上，有ii•Jordan链条{，y2，…，ynj}()AI0i特征向量()A

3、Iyi2()AIyyi32广义特征向量()AIyyinnjj1()AIyy注意：这里使用的是ii1i教材上使用的是()iiIiiAyy1另外，注意的选择。观察上面的公式可以发现nj1RA((I))NA(I)ii2120例，求可逆矩阵P使得A相似A22232于Jordan标准型。解：可计算A的包含阶数为2和3的两个Jordan块。可计算得：00001000002(AI2)006AI2020

4、00300TR((A2I)){(,0,,,0)

5、,,xyzxyzC}2TR((A2I)){(0,0,1,0,0)

6、xxC}TN((A2I)){(,0,,0,0)

7、,xyxyC}先求二阶Jordan对应的特征向量和广义特征向量。显然取TpRA((INA2))(2Ip),(,0,,0,0),abab0或011这时Tp(,xazb,,/2,0)2TT(,0,,0,0)xz(0,a,0，b/2,0)很明显前一个向量属于N(A-2I)，因此可以去除的。再求三阶Jordan对应

8、的特征向量和广义特征向量。显然取2TpRA((INA2))Ip(2),(0,0,,0,0),cc033这时由(2A)Ipp43Tpxzc(,0,,/2,0)4TT(,0,,0,0)xzc(0,0,0/2,0)很明显前一个向量属于N(A-2I)，因此可以去除的。(2A)Ipp再由54Tp(,0,,0,/6)xzc5TT(,0,,0,0)xz(0,0,0,0,/6)c很明显前一个向量属于N(A-2I)，因此可以去除的。综合前面的两步可得Pppppp(,,,,)12345a00000000a

9、bc000020bc2000006c从前面的计算可以看出，如果先取a=0,那么后面的计算将无法进行。因此我们应该在求Jordan块对应特征值的时候先求阶数比较高的，然后在同阶数的可以随便进行。依此类推。可总结如下•方法步骤：由特征值i对应的线性无关的特征向量的个数确定J(i)中Jordan块的个数由特征值i的代数重数确定主对角线元素是的i的Jordan矩阵J(i)的阶数。由特征向量求得的Jordan链条的长度确定Jordan块的阶数链条中的向量合起来构成可逆矩阵P，Jordan块构成JA•基于Jordan标

10、准形的矩阵多项式g(A)的计算Jordan块g(J1)J1(1)g(J)21J()g(A)pP21ApPJ()g(Jk)nnknn(r1)g()g()1g()g()2!(r1)!1g()g()J()g(J)g()1g()2!g()rrmrg()g（J）的结构特点：由第一行的元素生成32•例题1设g()451对下列矩阵A，计算g（A）。解

11、33211A763P21P122211g(A)P152