泛函分析题1.6内积空间.pdf

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1、泛函分析题1_6内积空间20070504泛函分析题1_6内积空间p751.6.1(极化恒等式)设a是复线性空间X上的共轭双线性函数，q是由a诱导的二次型，求证：x,yX，有a(x,y)=(1/4)·(q(x+y)q(xy)+iq(x+iy)iq(xiy))．证明：x,yX，q(x+y)q(xy)=a(x+y,x+y)a(xy,xy)=(a(x,x)+a(x,y)+a(y,x)+a(y,y))(a(x,x)a(x,y)a(y,x)+a(y,y))=2(a(x,y)+a(y,x))，将iy代替上式中的y，有q(x+iy)q(xiy)=2

2、(a(x,iy)+a(iy,x))=2(ia(x,y)+ia(y,x))，将上式两边乘以i，得到iq(x+iy)iq(xiy)=2(a(x,y)a(y,x))，将它与第一式相加即可得到极化恒等式．1.6.2求证在C[a,b]中不可能引进一种内积(·,·)，使其满足1/2(f,f)=maxaxb

3、f(x)

4、(fC[a,b])．证明：若C[a,b]中范数

5、

6、·

7、

8、是可由某内积(·,·)诱导出的，则范数

9、

10、·

11、

12、应满足平行四边形等式．而事实上，C[a,b]中范数

13、

14、·

15、

16、是不满足平行四边形等式的，因此，不能引进内积(·,·)使其适合上述关系．范数

17、

18、·

19、

20、是

21、不满足平行四边形等式的具体例子如下：设f(x)=(x–a)/(b–a)，g(x)=(b–x)/(b–a)，则

22、

23、f

24、

25、=

26、

27、g

28、

29、=

30、

31、f+g

32、

33、=

34、

35、f–g

36、

37、=1，显然不满足平行四边形等式．2(T)21.6.3在L[0,T]中，求证函数x

38、[0,T]ex()d

39、(xL[0,T])在单位球面上达到最大值，并求出此最大值和达到最大值的元素x．2证明：xL[0,T]，若

40、

41、x

42、

43、=1，由Cauchy-Schwarz不等式，有(T)2(T)22

44、[0,T]ex()d

45、([0,T](e)d)([0,T](x())d)(T

46、)22T22T=[0,T](e)d=e[0,T]ed=(1e)/2．2T1/2因此，该函数的函数值不超过M=((1e)/2)．(T)前面的不等号成为等号的充要条件是存在，使得x()=e．(T)2再注意

47、

48、x

49、

50、=1，就有[0,T](e)d=1．2T1/2解出=((1e)/2)．2T1/2(T)故当单位球面上的点x()=((1e)/2)·e时，2T1/2该函数达到其在单位球面上的最大值((1e)/2)．1.6.4设M,N是内积空间中的两个子集，求证：MNNM．证明：若xN，则

51、yN，(x,y)=0．而MN，故yM，也有(x,y)=0．因此xM．所以，NM．1泛函分析题1_6内积空间200705041.6.5设M是Hilbert空间X中的子集，求证：(M)=cl(spanM)．证明：(1)xM，yM，总有(x,y)=0．故有xM．所以，x(M)．从而得到M(M)．因(M)是线性子空间，所以，spanM(M)．又(M)是闭线性子空间，所以，cl(spanM)(M)．(2)x(M)，因cl(spanM)是X的闭子空间，故存在x关于cl(spanM)的正交分解x=x1+

52、x2，其中x1cl(spanM)，x2(cl(spanM))，从Mcl(spanM)，根据习题1.6.4，我们有(cl(spanM))M．所以x2M．因x(M)，故yM，总有(x,y)=0．而yM蕴含yspanM．再由内积的连续性，得到ycl(spanM)．所以，(x2,y)=(xx1,y)=(x,y)(x1,y)=0．即yM，总有(x2,y)=0．所以x2(M)．故x2M(M)，因此(x2,x2)=0．这样就得到x2=，x=x1+x2=x1+=x1cl(spanM)．所以，(M)cl(spanM

53、)．21.6.6在L[1,1]中，问偶函数集的正交补是什么？证明你的结论．解：设偶函数集为E，奇函数集为O．显然，每个奇函数都与正交E．故奇函数集OE．fE，注意到f总可分解为f=g+h，其中g是奇函数，h是偶函数．因此有0=(f,h)=(g+h,h)=(g,h)+(h,h)=(h,h)．故h几乎处处为0．即f=g是奇函数．所以有EO．这样就证明了偶函数集E的正交补E是奇函数集O．22inx1.6.7在L[a,b]中，考察函数集S={e

54、n}．(1)若

55、b–a

56、1，求证：S={}；(2)若

57、b–a

58、>1，求证：S{