清华大学计算流体力学第一次作业答案.pdf

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1、《计算流体力学》作业1线性对流方程初边值问题∂∂uu+=0∂∂txux(,0)=−sin(2πx)utut(1,)=(1,)−l、设x−x=∆x,x−x=∆x，试利用j-2、j-1、j三点构造非均匀网格上逼jj−1j−1j−1j−2j−2近一阶导数项(u)的差分公式，并分析上述差分公式的截断误差；xj解：待定系数法：k(ux)j−(aujjj+bu−−12+cu)=Ο∆(x)（1）泰勒展开：123uuxuj−−11=jjx−∆()jj+∆xujx−1(x)+Ο∆(xj−1)2123uuxxujjjjx−2=−∆(−

2、−12+∆)()jj+(∆xxujjx−−12+∆)(x)+Ο∆((xxjj−−12+∆))（2）2代入待定系数表达式得：122−+++∆+(abcucx)j(jj−−12∆+∆+x)bxj−11(ux)jj−∆+cx(jj−−12∆+∆x)bx(jx−1)(ux)=TE..2=−1∆33+∆+∆+∆3TE..bx(j−1)cx(j−−12xj)(uxxx)jOx()6求解关于abc、、的方程组：2∆xx+∆jj−−12a=∆xxxjjj−−−112(∆+∆)abc++=0∆xx

3、+∆jj−−12cx(∆+jj−−12∆+∆+=⇒=x)bxj−110b−∆∆xxjj−−121122cx(∆jj−−12+∆x)+bx(∆j−1)=0∆xj−122c=∆xxxjjj−−−212(∆+∆)整理得：222(2∆xxjj−−12∆+∆xuxjj−2)−∆(j−1+∆xujj−−21)+∆(xujj−−12)(ux)j=+TE..∆xxxjj−−121∆(∆j−+∆xj−2)1232TE..=−(∆xj−1)+∆xxuj−−12∆j(xxx)j+OxOx(∆)=(∆)6故截断误差为2

4、阶。2、若网格均匀，试用一阶后差离散源方程中的空间导数项，时间方向采用一阶前差，写出完整的差分格式。编程计算T＝2，4时的数值解，并讨论计算参数对计算结果的影响。其∆t中网格点数取为20，时间步长分别取为c==0.5,1,1.2，∆x要求：编程计算，并整理文档，其中写明计算格式；初始、边界条件；计算结果图（给出图中结果对应的计算参数，如时间，空间步长，推进步数等），并附上源程序。解：精确解：uxt(,)=−−sin2π(xt)n+1nnnuuuu−−jjjj−1n+1nn差分格式：+=0⇒=−+u(1cu)cujjj−1

5、∆∆tx2.521.510.5u0-0.5-1c=0.5c=1.0-1.5c=1.2exact-2-2.5-1.5-1-0.500.511.5x图1T=2时取不同c值得到的数值结果与精确解对比642u0-2c=0.5c=1.0c=1.2-4exact-6-1.5-1-0.500.511.5x图2T=4时取不同c值得到的数值结果与精确解对比由图1，图2可得，c=1时计算结果与精确解符合的很好；c=0.5时，差分格式具有正耗散性，数值解的振幅随时间减小，虽然格式是稳定的，但由于耗散太大，因此，数值解的精度很低；c=0.5时，差分格式

6、具有负耗散行，数值解的振幅随时间增大，随着时间推进，数值解将发散。VonNeumann稳定性分析unn=AeikxmkkmAen+1ikxmk=(1−+cAe)nnikxmkcAeikxmk−1mmmGAA=nn+1=−+(1cc)e−∆ikmx=−+1cckxicos(∆−)ckxsin(∆)mmmmm222=−+1cckxcos(mm∆)+csin(kx∆)=+12cc(−11cos)−(kxm∆≤)1⇒≤≤0c1c=1时，G=1，振幅保持不变。m