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1、.....空间向量与立体几何典型例题一、选择题：1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（C）A．B．C．D．1.解：C．由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为.另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为长度均为，平面的法向量为,则与底面所成角的正弦值为.二、填空题：1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于．1题图（1）1.
2、答案：.设，作，则，为二面角的平面角，结合等边三角形与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则,1题图（2）故所成角的余弦值另解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点,word可编辑.......,则,故所成角的余弦值.三、解答题：1．（2008安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为的中点。（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。1．方法一（综合法）（1）为异面直线与所成的角（或其补角）作连接，所以与所成角的大小为（２）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A
3、作于点Q，又,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，，所以点B到平面OCD的距离为方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,word可编辑.......(1)设与所成的角为,,与所成角的大小为(2)设平面OCD的法向量为,则即取,解得设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,,.所以点B到平面OCD的距离为2．（2008安徽理）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为的中点，为的中点。（Ⅰ）证明：直线；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面
4、OCD的距离。2．方法一（综合法）（1）取OB中点E，连接ME，NE又（2）为异面直线与所成的角（或其补角）作连接，word可编辑.......所以与所成角的大小为（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作于点Q，又,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，，所以点B到平面OCD的距离为方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设平面OCD的法向量为,则即取,解得(2)设与所成的角为,,与所成角的大小为(3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值
5、,由,得.所以点B到平面OCD的距离为word可编辑.......3．（2008北京文）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.3．解法一：（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.∵AP=BP，∴PD⊥AB.∵AC=BC.∴CD⊥AB.∵PD∩CD＝D.∴AB⊥平面PCD.∵PC平面PCD，∴PC⊥AB.（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC，∴PC⊥BC.又∠ACB＝90°，即AC⊥B
6、C，且AC∩PC=C，∴AB＝BP，∴BE⊥AP.∵EC是BE在平面PAC内的射影，∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE=，∴sin∠BEC=∴二面角B-AP-C的大小为aresin解法二：（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC.∴PC⊥BC.∵AC∩BC=C,∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC，∴PC⊥AB.(Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.设P（0，
7、0，t）,∵｜PB｜=｜AB｜＝2，∴t=2,P(0,0,2).取AP中点E，连结BE，CE.∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,∴CE⊥AP,BE⊥AP.word可编辑.......∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.∵E(0,1,1),∴cos∠BEC=∴二面角B-AP-C的大小为arccosACBDP4．（2008北京理）如图，在三棱锥中，，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．4．解法一：（Ⅰ）取中点，连结．，．，．，平面．平面，．ACBEP（Ⅱ），，．又，．又，即，且，平
8、面．取中点．连结．，．是在平面内的射影，．是二面角的平面角．在中，，，，．ACBDPH二面角的大小为．（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，平面平面．过作，垂足为．平面平面，平面．的长即为点到平面的距离．word可编辑.......由（Ⅰ）知，又，且，平面．平面，．在中，，，．．点到平面的距离为．解法二：（Ⅰ），，．又，．，平面．平面，．（Ⅱ）如
