数据结构——树.ppt

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1、第六章树树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构。6.1树的定义和基本术语一、树的定义定义：树(Tree)是n(n>=0)个结点的有限集T，其中：有且仅有一个特定的结点，称为树的根(Root)；当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,……Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树(Subtree)；当n=0时，称这棵树为空树。非空树的特点：树中至少有一个结点——根树中各子树是互不相交的集合树的其它表示法A只有根结点的树ABCDEFGHIJKLM有子树的树根子树ABCEDFHGIABDEHFCGI(A(B(D,E(H),F),C(G,I

2、)))广义表表示法嵌套集合表示法凹入表示法二、基本术语结点(Node)——表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支结点的度(Degree)——树的结点所拥有的子树数叶子(Leaf)——度为0的结点，也称为终端结点孩子(Child)——结点子树的根称为该结点的孩子双亲(Parents)——孩子结点的上层结点叫该结点的~兄弟(Sibling)——同一双亲的孩子祖先(Ancestor)——从根到该结点所经分支上的所有结点子孙(Descendant)——以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的~树的度——树内各结点的度的最大值结点的层次(Level)——从根结点算起，根为第一层，

3、它的孩子为第二层……若某结点在第L层，则其子树的根就在第L+1层。深度(Depth)——树中结点的最大层次数森林(Forest)——m(m0)棵互不相交的树的集合有序树(OrderedTree)——如果将树中结点的各子树看成是从左至右有次序的；反之，则是无序树(UnorderedTree)。ABCDEFGHIJKLM结点A的度：3结点B的度：2结点M的度：0叶子：K，L，F，G，M，I，J结点A的孩子：B，C，D结点B的孩子：E，F结点I的双亲：D结点L的双亲：E结点B，C，D为兄弟结点K，L为兄弟树的度：3结点A的层次：1结点M的层次：4树的深度：4结点F，G为堂兄弟结点A是结点

4、F，G的祖先6.2二叉树(BinaryTree)一、二叉树的定义定义——（递归定义）二叉树是n(n0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成。特点每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点)二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒基本形态思考：二叉树是树的特殊情况吗？二叉树是度为2的有序树吗？A只有根结点的二叉树空二叉树AB右子树为空AB左子树为空ABC左、右子树均非空二、二叉树的性质性质1：性质2：深度为k的二叉树至多有个结点(k1)证明：由性质1，可得深度为k的二叉树最大结点数是证明：用归纳法证明之

5、i=1时，只有一个根结点，是对的假设对所有j(1j

6、n2+1=n0+n1+n2n0=n2+1几种特殊形式的二叉树满二叉树定义：特点：每一层上的结点数都是最大结点数完全二叉树定义：深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称为~特点叶子结点只可能在层次最大的两层上出现对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次为L，则其左分支下子孙的最大层次必为l或L+1满二叉树一定是完全二叉树，反之不成立！性质性质4：1231145891213671014151231145891267101234567123456证明：假设n个结点的二叉树深度为k，则根据性质2和完全二叉树的定义有2k-1－1＜

7、n≤2k－1…①或2k-1≤n＜2k…②对于表达式①有k－1＜log2(n＋1)≤k因为k是整数，所以有k=┌log2(n+1)┐对于表达式②有k－1≤log2n＜k因为k是整数，所以有k=└log2n┘+1性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1in)，有：⑴如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是i/2⑵如果2i>n，则结点i无左孩子；如果2in，则其左孩子是2i⑶如果2i+1>n，