第6讲 信道编码：基本概念、汉明码编码、错误图样.ppt

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1、信道编码信道编码的几个基本概念1）码重：码字中非零位的数目定义为该码组的重量，即所含“1”的个数简称码重，记为Wc。如“10011”码组的码重为32）码距：两个码组中对应码位上具有不同二进制码元的位数被定义为两码组的距离，称为汉明（Hamming）距离，简称码距，记为d(ci,cj)。如两码组“10011”与“11010”间码距为23）编码效率：指一个码组中信息位所占比重，用η表示η=k/n其中k为信息码元的数目，n为码长。η值越大表明信息位所占的比重越大，码组传输信息的有效性越高若某信源产生两个符号A与B，假设分别用两个长度为4的码组（已被信道编

2、码）进行表示：A=0110；B=1100，码距d=2，此时只有这两个码组是许用码组，其他4位二进制比特位的组合均为禁用码组（不能代表任何消息）1.假设这种信道编码方式具有检错能力，下面分析码距与检错能力的关系1）消息A经过传输后发生一位错误后的情况可能为：A(0110)→{1110，0010，0100，0111}2）消息A经过传输后发生二位错误后的情况可能为：A(0110)→{1010，0000，0101，1100，1111，0011}A码组的误码集合中存在许用码组B，可知该编码方法不能检查二位以上的错误因此编码的检错能力与码距有关最小码距与检、纠

3、错能力关系在一个码组集合中，任意两个码组间距离的最小值，即码组集合中任意两元素间的最小距离，记为dmin有上述分析可知：假设一个码能检测e个独立错误，则要求其最小码距dmin≥e+1反之，若码的最小距离为dmin，则最多能检测dmin-1个错码若某信源产生两个符号A与B，假设分别用两个长度为4的码组（已被信道编码）进行表示：A=0110；B=1000，码距d=31.假设这种信道编码方式具有纠错能力，下面分析码距与纠错能力的关系1）若信道中只可能发生一位或两位错误，则消息A与消息B经过传输后发生一位错误后的情况分别可能为：A(0110)→{1110，

4、0010，0100，0111}B(1000)→{0000，1100，1010，1001}若该种编码方法可以纠正t=1个错误，即d≥2t+1，对于上面两个误码集合是没有交集的。因此可以完全的纠错，即可以分别将误码集合中的码字纠正为A或B2）若信道中最多可以发生两位以内错误，消息A与消息B经过传输后发生一位或两位错误后的情况分别可能为：A(0110)→{1110，0010，0100，0111，1010，0000，0101，1100，1111，0011}B(1000)→{0000，1100，1010，1001，0100，1110，1011，1010，10

5、01，1101}每个误码集合中前4个码组为误码一位的码组，后6个位误码两位的码组若该种编码方法可以纠正t=2个错误，即d<2t+1；观察发现两个误码集合存在交集，交集中的码组用相应的颜色标出；两个集合中黑色字体的码组都可以被正确的纠正，但对于其他颜色的码组，比如1110，它在两个集合中都存在，此时接收端不知道该纠正为A还是B。因此当d<2t+1时不能完全正确的进行纠错由上述分析可知：一个码能纠正t个错码，则要求其最小码距dmin≥2t+1反之，若码的最小距离为dmin，则最多能纠正(dmin-1)/2个错码一个码能纠正t个错码，同时能检测e个错码，

6、则要求其最小码距dmin≥e+t+1(e>t)纠正t个错码，同时能检测e个错码，称为纠检结合，错码数较少时执行纠错方式，错码数较多时执行检错方式有限域的简单知识所谓有限域是指包含有限个元素的集合，按照所规定的运算规则运算后的结果仍为集合中的元素编码理论中有限域为{0,1}二元集合，记为GF(2)GF(2)的加法与乘法：1）加法：相同为0，相异为1；2）乘法：除了1·1=1，其他均为0二元扩展域，记为GF(2n)：由GF(2)中的元素构成的长为n的序列的集合，若1）加法2）乘法二、线性分组码线性分组码的数学定义：信道编码可表示为由编码前的信息码元空间

7、Uk到编码后的码字空间Cn的一个映射f，即：f：Uk→Cn其中(n>k)若f进一步满足线性关系：则称f为线性编码映射，若f为一一对应映射，则称f为唯一可译线性编码，由f编写的码c=(cn-1cn-2…c0)称为线性分组码，u=(un-1un-2…u0)为编码前的信息分组，其中k为信息位数，n为码长，其编码效率为η=k/n数学定义的解释：1）“线性”是指码组中码元之间的约束关系为线性；2）“分组”是在编码时将每k个信息位分为一组进行独立处理；3）将其变换成长度为n（n>k）的二进制码组，一般称为（n,k）线性分组码线性分组码的特征：1）加法封闭性：码

8、组集合中任意两个码组相加仍为集合中的一个许用码组；2）全零序列是线性分组码中的一个码字；3）码组集合中码组之间的最小码距等