定积分在物理学中的应用.ppt

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1、定积分在物理学中的应用前面我们已经介绍了定积分在几何方面的应用，我们看到，在利用定积分解决几何上诸如平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积等问题时，关键在于写出所求量的微元定积分在物理方面的应用的关键也是如此，希望大家注意如何写出所求量的微元——微功、微压力、微引力等由物理学知道，如果一个物体在常力F作用下，使得物体沿力的方向作直线运动，物体有位移s时，力F对物体所作的功为：W=Fs这个公式只有在力F是不变的情况下才适用，但在实际问题中，物体在运动过程中所受到的力是变化的。下面我们通过例子来说明如何利用微元法来求变力所作的功。例1已知弹簧每伸长0.02m要用9,8N的力，求把弹簧拉

2、长0,1m需作多少功一、变力沿直线作功当我们拉长弹簧时，需要克服弹性力作功，由Hoke定律，弹性力F与伸长量x之间有函数关系：F=kxk——弹性系数用微元法由题设9.8=0.02kk=490要求的是变力所作的功F=490x取x为积分变量积分区间为[0,0.1]弹簧由x处拉到x+dx处，由F(x）的连续性，当dx很小时，弹性力F(x)变化很小，可近似地看作是不变的（常力）解于是在小区间[x，x+dx]上对应的变力F所作的功近似于把变力F看作常力F=490x所作的功例2发射火箭需要计算克服地球引力所作的功，设火箭的质量为m，问将火箭垂直地向上发射到离地面高H时，需作多少功。并由此计算初速度至

3、少为多少时，方可使火箭脱离地球的引力范围解取ox轴竖直向上xoRR+H地球半径设为R质量为M，由万有引力定律，即x=R时火箭所受的引力就是火箭的重力mg火箭所受地球的引力随火箭发射的高度x而变化当火箭在地面上代入上式为了发射火箭，必须克服地球引力，克服地球引力的外力F与f大小相等下面用微元法来求变力所作的功。取x为积分变量所须作的功为了使火箭脱离地球引力范围，也就是说要把火箭发射到无穷远处则动能为因此要使火箭脱离地球引力范围，须有代入上式得——第二宇宙速度这功是由火箭上的动能转化而来，若火箭离开地面时的初速度为半径为R，高为H的圆柱形贮水桶，盛满了水，问将水桶中的水全部吸出须作多少功？解

4、这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地被吸到桶口的在区间[y,y+dy]上对应一小薄柱体该水柱重为将这一小水柱提到桶口所经过的距离例3将以上几例的解法一般化可得若一物体在变力F(x)的作用下，沿力的方向（ox轴）作直线运动，当物体由x=a移到x=b时，变力F(x)对物体所作的功为由物理学知道，一水平放置在液体中的薄板，其面积为A，距液面的深度为h，则该薄板的一侧所受的压力P等于液体的压强p与受力面积的乘积，而压强等于深度与比重的乘积，于是但在实际问题中，往往需要计算与液面垂直放置的薄板一侧的所受的压

5、力，由于薄板在不同深度处压强不同，因而不能直接应用上述公式进行计算，需要采用微元法，利用定积分来计算。例4设半径为R的圆形水闸门，水面与闸顶平齐，求闸门一侧所受的压力。二、液体的侧压力取坐标系如图oxyy+dy2Ry奇函数偶函数四分之一圆面积x解边长为a,b的矩形薄板，与液面成角斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深h处，设a>b液体的比重为，求板的一侧所受的压力。解如图建立坐标系坐标为x处液体的深度为xx+dxab例5得液体的侧压力的计算公式将以上几例的解法一般化由万有引力定律：两个质量分别为相距为r的质点间的引力若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由于细杆上各点与质点的距离是变化的，所

6、以不能直接利用上述公式计算。例6设有一长为l质量为M的均匀细杆，另有一质量为m的质点和杆在一条直线上，它到杆的近端距离为a，求细杆对质点的引力。三、引力取x为积分变量该小段细杆的质量为若把问题改为求细杆对位于它的一端垂线上距杆a处的质量为m质点的引力。解取坐标系如图0l·ma取x为积分变量该小段细杆的质量为若把问题改为求细杆对位于它的一端垂线上距杆a处的质量为m质点的引力。解如图建立坐标系尤其是如何在具体问题中取“微元”——微功、微压力、微引力等。这对于从形式到内容真正地把握公式是非常必要的，相反如果仅满足于套用公式解决一些简单问题而不求甚解，那么遇到一些稍有灵活性的问题，便可能束手无策

7、，不知如何下手。四、平均值和均方根关于定积分在物理方面的应用，除了应熟记各个公式的结果外，还须了解其推导过程关于定积分的应用说明三点：1。选择合适的坐标系2。善于根据问题的性质和要求构造积分元素，主要是选择好参数，并能正确地确定出积分限，3。具体计算定积分时，要特别注意和充分并且慎重应用对称性及等量关系以简化定积分的计算，对此，熟悉区域或曲线的形状，对于解决问题是十分有益的。利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题．（注