第4章向量空间与线性空间习题课.ppt

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1、第4章习题课一、基本要求二、典型例题分析2/45一、基本要求1.理解n维向量及其线性组合与线性表示的概念,理解线性表示的判别准则.2.理解向量组线性相关、线性无关的概念,理解线性相关性的性质及判别准则.3.理解向量组等价的概念,掌握向量组等价的判别准则.3/454.理解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念,熟练掌握求向量组的极大线性无关组及秩的方法.5.理解非齐次线性方程组的通解、导出方程组的基础解系与通解,熟练掌握用初等行变换求线性方程组通解的方法.6.了解n维向量空间、子空间、生成子空间、基、维数、坐标等概

2、念,知道基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵.4/457.了解内积、正交向量组和标准正交向量组的概念与性质,掌握Schmidt方法,了解规范正交基、正交矩阵的概念及其性质.8.知道线性空间、线性子空间、基、维数、坐标和线性变换的概念,会求线性变换在一组基下的矩阵,知道线性变换在不同基下的矩阵之间的关系.5/45(一)线性相关性的判定二、典型例题分析方法1定义方法2利用矩阵的秩判别方法3利用行列式判别方法4转化为齐次线性方程组来判别方法5利用向量组之间的线性表示来判别向量组是否线性相关等价于齐次方程组是否有非零解6/

3、45例1已知向量组线性相关,求a的值.解由条件得所以a1,7/45另解由条件知a1,于是a10,或2a10,解得8/45例2设为n维列向量组,m2,且证因为证明向量组线性无关当且仅当线性无关.且由m2知9/45所以,10/45证所以存在不全为零的考虑线性方程因为线性相关,数k1,k2,,km,使得都线性相关.例3设线性相关,证明存在不全为零的数t1,t2,,tm,对任何向量,向量组k1x1k2x2kmxm0,11/45由m2知该线性方程有非零解,设(t1,t2,,tm)T为

4、它的任一非零解,即从而向量组线性相关.则对任何向量都有12/45方法1转化为线性方程组方法2利用唯一性定理方法3利用向量组的秩(二)线性表示的判定一个向量能否被线性表示等价于线性方程组是否有解一个向量组能否被线性表示等价于矩阵方程是否有解13/45例4已知解设法将表示成的线性组合,为此对矩阵做初等行变换化为最简阶梯矩阵:14/45于是15/45例5设问a,b,c满足什么条件时并求出一般表达式.(1)能由线性表示,且表达式唯一;(2)不能由线性表示;(3)能由线性表示,但表达式不唯一,16/45解(1)当a4时

5、,能由唯一线性表示.对矩阵做初等行变换化为阶梯矩阵:17/45当13bc0时,不能由线性表示.(2)当a4时,(3)当a4,13bc0时,18/45此时,能由线性表示,且表达式不唯一.取x1k,k为任意数,则19/45解即线性表示.由向量组例6设向量组不能(1)求a;(2)将用线性表示.不是向量空间3的基,(1)因不能由线性表示,从而线性相关,故(2)由于20/45因此21/45(三)求极大线性无关组和秩方法1初等行变换方法2定义方法3定义的等价性22/45的秩,以及该向量组的极大线性无关

6、组,并将其余向量用极大线性无关组来线性表示.例7求向量组解令对矩阵A作初等行变换化为阶梯矩阵:23/45因此故向量组的秩为3,且是一个极大线性无关组.再对矩阵B做初等行变换化为最简阶梯矩阵:24/45例8设解对矩阵A作初等行变换化为阶梯矩阵:求A的秩及向量组的极大线性无关组.25/45(1)当a5,b5时,rankA2,是一极大线性无关组.是一极大线性无关组.是一极大线性无关组.是一极大线性无关组.(2)当a5,b5时,rankA3,(3)当a5,b5时,rankA3,(4)当a5,b

7、5时,rankA4,26/45(四)线性方程组解的判定、性质和结构问题例9设向量组是方程组的基础解系,证明向量组是方程组的基础解系.证由题设知都是方程组的解,且27/45方程组Ax0的基础解系含三个线性无关的解向量,因为所以从而向量组是方程组Ax0的基础解系.28/45例1029/45解于是30/45即有31/45因此32/45例11解因为33/4534/4535/45例12设线性方程组(1)分别求方程组(I)和(II)的基础解系;解(2)求方程组(I)和(II)的公共解.(1)将方程组(I)和(II)的

8、系数矩阵化为最简阶梯矩阵:36/45则方程组(I)和(II)的基础解系分别为(2)联立方程组(I)和(II),得则方程组(I)和(II)的公共解为37/45求方程组(I)和(II)公共解的三种方法(1)若方程组(I)和(II)都是已知的,则联立方程组(I)和(II)得到方程组(III),(III)的解就是(I)和(II)的公共解.(2)先求出一个方程组的通解,再将通解代入