随机变量向量的数字特征 协方差和相关系数.ppt

《随机变量向量的数字特征 协方差和相关系数.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、随机变量向量的数字特征协方差和相关系数协方差和相关系数五、随机向量的数字特征（一）随机向量的数学期望1．定义：设(X1,X2,…,Xn)T是n维随机向量，而且每个随机变量Xi的期望EXi都存在，i=1,2,…,n，称(EX1,EX2,…,EXn)T为(X1,X2,…,Xn)T的期望向量，或均值向量。2．设g(X,Y)是随机变量X,Y的函数，且E[g(X,Y)]存在（1）如果(X,Y)离散是随机变量，联合概率分布为piji,j=1,2,…，则E[g(X,Y)]=特别注意：边缘概率分布协方差和相关系数（2）如果(X,

2、Y)是连续随机变量，联合概率密度为f(x,y)则E[g(X,Y)]=思考：与一维函数的数学期望比较特别注意：边缘密度函数方差定义求离散型方差定义公式求连续型方差定义公式方差的常用公式3．随机变量和与积的数学期望和方差（1）设随机变量(X1,X2,…,Xn)的期望EXi都存在，则E(X1+X2+…+Xn)=(EX1+EX2+…+EXn)（2）设X与Y独立，期望EX,EY都存在，则E(XY)=EXEY。对于任意有限个独立随机变量也成立，即X1,X2,…,Xn相互独立，且期望都存在，则E(X1X2…Xn)=EX

3、1EX2…EXn，注意：上述性质的逆命题不成立，即如果X与Y满足E(XY)=EXEY，那么X与Y不一定独立，（3）设随机变量X与Y独立，方差都存在，则D(XY)=DX+DY对于任意有限个独立随机变量也成立，即X1,X2,…,Xn相互独立，且方差都存在，则有D(X1X2Xn)=DX1+DX2++DXn。注意：上述性质在一维随机变量中介绍过。协方差和相关系数随机向量的期望/例/设随机变量X与Y独立，且X服从[0,2]上的均匀分布，Y服从参数为3的指数分布，则E(XY)=（）方法1：利用随机变量函数

4、的期望公式计算因为X与Y独立，且所以（X,Y）的联合概率密度为所以方法2：利用重要分布的数字特征和期望的性质计算因为E(XY)=E(X)E(Y)又所以比较两法，很明显说明，熟悉期望性质和重要分布的数字特征公式对计算随机变量函数期望很有利。协方差和相关系数/例1/：已知二维向量(X,Y)的概率分布由确定，判断（1）X与Y是否独立？（2）E(XY)与EXEY是否相等？解：先求出X与Y的边缘分布P(Y=–1)=0.3+0.1=0.4;P{Y=0}=0+0.2=0.2;P{Y=1}=0.3+0.1=0.4;P{X=–1}

5、=0.3+0+0.3=0.6;P{X=1}=0.1+0.2+0.1=0.4P{X=1,Y=0}=0；由于P{X=1,Y=0}P{X=1}P{Y=0}所以X与Y不独立EX=(1)0.6+10.4=2,EY=(1)0.4+(0).2+(1)0.4=0;所以，EXEY=0XY10110.300.310.10.20.1X11P0.60.4Y101P0.40.20.4E(XY)==(1)(1)0.3+(1)(1)0.3+1(1)0.1+110.1=0可以看出E(X

6、Y)=E(X)E(Y)，但是X与Y不独立。还可以用D(XY)是否等于D(X)+D(Y)，协方差和相关系数/例/设随机变量(X,Y)的联合密度为（1）求k，（2）E(XY)由联合密度的性质可知k=2/例/设X表示10次独立重复射击命中目标次数，且每次命中概率为0.4，求E(X2)。由题意知XB(10,0.4)，故E(X)=4,D(X)=2.4又有E(X2)=D(X)+[E(X)]2=18.4该题计算利用了方差的计算的公式及二项分布的数字特征公式（二）随机变量的相关系数和相关性两个随机变量的相关性是概率和数理统计

7、的重要概念，是统计相依性最简单的形式之一，由两个随机变量的联合数字特征——相关系数来表征。随机变量的相关性的分析——相关分析，在经济问题中有重要的应用。1．定义：设两个随机变量X与Y的期望和方差都存在，则称cov(X,Y)=E(XEX)(YEY)=EXYEXEY为X与Y的协方差若(X,Y)是离散型随机向量，联合分布为P{X=xi,Y=yj}=pij，i,j=1,2,…，则协方差和相关系数cov(X,Y)=若(X,Y)是连续型随机向量，联合密度函数为f(x,y)，则cov(X,Y)=注意：从协方差的定义，可

8、以想象和理解求协方差的公式。2．协方差的一些基本性质：(1)cov(X,X)=DX；cov(Y,Y)=DY；(2)cov(X,Y)=cov(Y,X)；(3)cov(aX,bY)=abcov(X,Y)；(4)cov(c,Y)=cov(X,c)=0，c为任意常数；(5)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)；(6)D(X+Y)=DX+DY+2cov(