椭圆中的_圆幂定理_.pdf

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1、CMYK试题研究>知识延伸数学教学通讯（中等教育）数学教学通讯（教师版）投稿邮箱：sxjk@vip.163.com椭圆中的“圆幂定理”江一鸣浙江宁波二中315000摘要：关于圆的性质在椭圆中一般不会成立．但在特别条件下，也可能得到保留，通过椭圆性质的探索过￡程，对问题研究逐渐深化和拓展，有利于激发学习者的兴趣．尤其是合理地运用几何直观去推测，或中￡是出于直觉，或是通过归纳和类比，体现了一种自然思考的过程，从而得到在椭圆中像圆一样有相等教教师交弦定理、切割线定理及割线定理等性质成立的条件．育版关键词：斜率相反；斜率定

2、值；四点共圆；椭圆圆幂大家知道，圆幂定理分为相交弦定a2（y－kx）2－a2b2y－yb2x+x002020所以x0xA=，即xA==－·．b2+a2k2x－xa2y+y理、切割线定理和割线定理．我们可以2020a2（y－kx）2－a2b2因为k+k=0，统一归纳为：过任意不在圆上的一点P引00PAPB，（b222）x+ak0≠y－yy－y两条直线l与圆交于A，B（可重合，≠10201，l2，l1≠+=0，a2（y+kx）2－a2b2≠x－xx－x同理x00≠≠1020即切线），l2与圆交于C，D（可重合），则B=

3、（b2+a2k2）x．所以≠≠0≠x1+x0x2+x0≠+=0，≠PA·PB=PC·PD．在椭圆中是否像圆一样y－y≠y+yy+y所以直线AB的斜率k=AB=≠1020AB有相交弦定理、切割线定理及割线定理xA－xB（y1－y0）（x2－x0）+（y2－y0）（x1－x0）=0，即≠等性质，笔者进行探索得到以下结论，k（xA+xB）－2kx0=（y1+y0）（x2+x0）+（y2+y0）（x1+x0）=0．xA－xB供参考．两式相减，得x0（y1+y2）+y0（x1+x2）=0，2a2（y2+k2x2）-2a2b2

4、x200-2kxk·0x1+x2x0引理：已知P（x0，y0）（y0≠0）是椭圆+（b2+a2k2）x即=－，③a20=y1+y2y0-4a2kxy00y22（b2+a2k2）xbx0=1上的定点，过P作斜率互为相反数0代入②式，得kAB=．b2a2y0b2x2+a2b2－a2y200．的两条直线，分别交椭圆于A，B两点，则x2y22a2xy00定理1：已知P是椭圆+=1上任a2b2b2x0x2y2直线AB的斜率为定值．又因为00222222a2y+=1，所以ab-ay0=bx0，意一点（异于长轴端点），PA，PB

5、和PC分0a2b2证明：不妨设PA的斜率为k，则PB的2b2x22别是椭圆的两条割线与切线．若割线0bx0故kAB==．①斜率为－k（k≠0），因此直线PA的方程为2a2xya2yPA，PB的斜率互为相反数，则切线PC与000y-y0=k（x－x0），直线PB的方程为y-y0=x21割线AB的斜率也互为相反数．另证：设A（x1，y1），B（x2，y2），则+a2x2y2≠y=k（x-x0）+y0，证明：对于方程≠+=1，求关于x≠22≠222ab-k（x－x0）．由≠x2y2得y1x2y2≠=1，+=1．≠≠+=1

6、，222222bab2x2ybx≠ab的导数得+·y′=0，所以y′=-．a2b2a2y222222x2－x2y2－y2（b+ak）x+2k（y0-kx0）ax+a（y0-两式相减，得12+12=0．a2b2由导数的几何意义，知点P（x0，y0）kx）2-a2b2=0．（*）02b2x所以ky1－y2bx1+x2（y≠0）处的切线斜率k=-0，设A（xA，yA），B（xB，yB）．AB==－·，②0PC2x－xa2y+yay01212因为点P（x0，y0）在椭圆上，2b2xy1－y0bx1+x0由①式知k=0，同理

7、kPA==－·，kPB=AB2所以x0是方程（*）的一个根，x－xa2y+yay0101058CMYK投稿邮箱：sxjk@vip.163.com数学教学通讯（中等教育）数学教学通讯（教师版）试题研究>知识延伸故kAB=-kPC．1的两条割线，若直线AB，CD的斜率互一点P引两条斜率互为相反数的直线l1，我们还可以看到，椭圆的这一性质为相反数，则直线AC，BD的斜率也互为l2，l1与圆交于A，B（可重合，即切线），l2与又是由圆的平面几何性质类比而来的．相反数．圆交于C，D（可重合），则PA·PB=PC·PD．圆的几

8、何性质：如图1，已知P是圆上证明：如图3，由直线AB和直线CD的通过深入探究还可以得到以下结任意一点，PA，PB与PC分别是该圆的两斜率互为相反数，可设直线AB的方程为论：由引理知，过椭圆上的一个定点P作条割线与切线，若∠1=∠2，则∠3=∠4．kx-y+m=0，直线CD的方程为kx+y+n=0．斜率互为相反数的两条割线PA，PB，则直Px2则过直线AB和直