第二单元第13讲函数与方程.ppt

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1、第13讲函数与方程11.若函数f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点３,那么函数g(x)=bx2+3ax的零点是.0,-1因为函数f(x)=ax-b(b≠0)的零点是３，所以x=3是方程ax-b=0的根，所以b=3a.将它代入函数g(x)=bx2+3ax中，可得g(x)=bx(x+1),令g(x)=0,得x=0或x=-1.22.已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点，则此零点所在区间是()CA.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)利用零点存在的判定条件，判断零点存在的区间.由于f(0)=-1<0,f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,f

2、(4)=59>0.根据选择支只有区间（1，2）满足.33.（2010·山东省实验中学模拟）函数f(x)=3ax+1-2a,在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取值范围是()CA.-1C.a>或a<-1D.a<-1令f(-1)·f(1)<0，得a>或a<-1，故选C.44.(2010·山东枣庄模拟)已知函数f(x)=()x-log2x,若实数x0是方程f(x)=0的解，且0

3、只有一个实根.所以当00恒成立，故选A.55.设a、b、c均为正数，且2a=loga，()b=logb,()c=log2c,则a、b、c的大小关系是.c>a>b考察函数f(x)=2x与g(x)=logx的图象的交点知，1，所以c>a>b.6题型一函数零点的判断例1(1)已知区间①(-2，-1)，②(-1，0)，③(0，1)，④(1，2)，⑤(2，3)，则三次方程x3+x2-2x-1=0在哪些区间上有根?(2)判断方程3x+x2-2x-1=0根的个数及符号.7(1)令f(x)=x3+x2-2x-1，则f(-2)·f(-1)

4、=(-1)×1=-1<0，所以方程在(-2,-1)上有根，同理②④皆可，故所求区间为①②④.(2)令y=3x,y=-x2+2x+1=-(x+1)2+2,则原方程的根即为两函数图象交点的横坐标，如图，两交点的横坐标，一个小于0，一个等于0，故原方程有两个根，其一为负，其一为0.8(1)当方程的根可能存在的区间已知时，用零点存在定理判断即可,如(1);当根可能存在的区间未知时,要构造函数，观察图象.研究一个函数的零点,还是两个函数图象的交点,前提是函数能否易于作出图象.再如求x+lgx=2的实根的个数,可考察函数y=lgx,y=2-x的交点的个数.(2)两函数图象交点个数问题，常转

5、化为一个函数的零点个数问题，进而由零点存在定理判断，必要时要考察函数的单调性.9已知函数f(x)=ex-k-x，其中x∈R.（1）k=0时，求函数f(x)的值域；（2）当k>1时，函数f(x)在[k,2k]内是否存在零点，并说明理由.10所以f(x)在（-∞,0)内单调递减.x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)内单调递增，所以x=0时，f(x)取到极小值.又因为这个极小值是R上的惟一的极小值，所以x=0时，f(x)min=f(0)=1，即函数f(x)的值域为[1,+∞).(1)当k=0时，f(x)=ex-x，f′(x)=ex-1.令f′(x)=0，得x

6、=0.又x∈(-∞,0)时，f′(x)<0,11因为k>1，所以1-k<0.令g(k)=ek-2k，g(1)=e1-2>0.又g′(k)=ek-2,当k>1时,g′(k)>e′-2>0，所以k∈(1,+∞)，g(k)为增函数，所以g(k)>g(1)>0,所以k>1时，ek-2k>0，所以f(k)·f(2k)<0，即函数f(x)当k>1时在[k,2k]内存在零点.(2)f(k)·f(2k)=(ek-k-k)·(e2k-k-2k)=(1-k)·(ek-2k).12题型二函数零点的性质的应用已知a∈R，函数f(x)=x2+2ax+1，如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点，求

7、a的取值范围.例2①Δ=0a=±1，此时当a=1时，x=-1∈[-1，1]；当a=-1时，x=1∈[-1,1]，合乎题意.13②f(x)在区间[-1,1]上只有一个零点且不是f(x)=0的重根,此时有f(-1)f(1)<0a>1或a<-1.③函数f(x)在区间[-1,1]上有两个相异实根,Δ>0f(-1)≥0f(1)≥0-1<-<1综上知，函数f(x)=x2+2ax+1在[-1,1]上有零点，则a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).a∈.则有141.二次函数零点的个数就是方程a