弹性力学第四章应力应变.ppt

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1、在应力分析中，仅从静力学的观点出发，引入了9个应力分量，它们满足三个平衡微分（运动方程）剪应力互等定理，由此得到应力张量对称的结论，因此独立的应力分量只有六个。在应变分析中，从物体的几何连续性观点出发，研究物体变形，得到三个位移分量和6个独立的应变分量。这样我们总共引入了十五个变量，它们满足的方程只有九个:第四章应力和应变的关系其中是已知的体力。从数学分析的角度，上述方程是不封闭的，因此没有唯一的一组解。还需补充六个方程，使得方程组封闭。另外，应力与应变是相辅相成的，有应力就有应变，反之亦然。对于每一种材料在一定温度下，它们之间

2、存在着确定的关系，反映了材料的固有特性。本章的任务就是建立在弹性阶段应力与应变的关系。第四章应力和应变的关系第一节广义胡克定律第二节弹性变形过程中的能量第三节各向异性弹性体第四节各向同性弹性体第五节弹性常数的测定各向同性体应变能密度第一节广义胡克定律物体中一点的应力状态由6个应力分量所确定，同一点附近的变形状态由6个应变分量所确定。应力与形变之间的物理关系可表示为:(4-1)当变形较小时，可展开成泰勒级数，并略去二阶以上的小量。由没有初应力的基本假设，上式可表示为上式中(m,n=1,2…6)是弹性系数，共36个，对于均匀材料它们

3、为常数,称为弹性常数,与坐标无关。(4-2)上式即为广义胡克定律，可以看出应力和应变之间是线性的。可以证明各弹性常数之间存在关系式=。对于最一般的各向异性介质，弹性常数也只有21个。§4.2弹性体变形过程中的功与能本节使用热力学的原理推导能量形式的物理方程（本构关系）。外力作用——弹性体变形——变形过程外力作功——弹性体内的能量也发生变化。绝热过程：利用热力学第一定律等温过程：利用热力学第二定律统一的形式：弹性体的应变能函数表达式§4.3各向异性弹性体1.极端各向异性弹性体根据偏导数次序可交换原则，可证C25=C52。对于其它的

4、弹性常数可以作同样的分析，则Cmn=Cnm。上述结论表明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体如果物体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。假设yz坐标面为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。将x轴绕动z轴转动π角度，成为新的Ox'y'z'坐标系。xyzx’-100y’010z’001新旧坐标系之间的转换关系为根据对称性质:关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不变，而关于x轴反对称的应力

5、和应变分量在坐标系变换时取负值（也可按照转轴时的变换公式计算）。有,sx'=sx，sy'=sy，sz'=sz，tx'y'=-txy，ty'z'=tyz，tz'x'=-tzxex'=ex，ey'=ey，ez'=ez，gx'y'=-gxy，gy'z'=gyz，gz'x'=-gzx根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式代入广义胡克定律表达式(4-2)得将上式与式(4-2)相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必须有C15=C16=C25=C26=C35=C36=C45=C46=0对于具有一个弹性对称面的弹性体，其弹性常

6、数由21个将减少为13个。3．正交各向异性弹性体假设物体内每一点具有两个弹性对称面，以下类似地推演具有两个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。设xz平面也是弹性对称面，即y轴也是弹性主方向，将y轴绕动z轴转动p角度，成为新的Ox'y'z'坐标系,如图所示。根据对称性质,关于y轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时也保持不变，而关于y轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。所以，则新旧坐标系下的应力和应变分量的关系为sx'=sx，sy'=sy，sz'=sz，tx'y'=-txy，ty'z'=-tyz，tz'x'=tzxex'

7、=ex，ey'=ey，ez'=ez，gx'y'=-gxy，gy'z'=-gyz，gz'x'=gzx将上述关于y轴弹性对称的应力应变关系代入具有一个弹性对称面的各向异性材料本构关系。为保持应力和应变在坐标变换后不变，则必有C14=C24=C34=C56=0其弹性常数由13个将减少为9个。于是其应力应变关系简化为(4-10)两个弹性对称面9个弹性常数相互垂直的3个平面中有两个弹性对称面，第三个必为弹性对称面弹性体的拉压与剪切变形,不同平面内的剪切之间没有耦合作用,称为正交各向异性体。正应力仅与正应变有关；切应力仅与对应的切应变有关。

8、4横观各向同性弹性体假如过弹性体中的任意点都有一个平面，在这个平面内，从各个方向看，弹性关系都相同。不妨假定oxy面和平行于oxy面的平面就是这样的各向同性面。讨论在这种情况下的弹性应力应变关系，最方便的是将x、y轴绕z轴旋转900，得到新的坐标系ox/y/z/