chapter6 线性转换.ppt

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1、第六章線性轉換6.1線性轉換介紹6.2線性轉換的核空間及論域空間6.3線性轉換矩陣6.4轉換矩陣及相似矩陣6.1線性轉換介紹函數(function)函數T映射一個向量空間到另一個向量空間1像、值域與反像若向量v在向量空間V中，向量w在向量空間W中使得則(1)w稱為在T映射下v的像(image)(2)在V中所有向量的像的集合稱為T的值域(range)(3)在V中所有可以使得的向量v的集合稱為向量w的反像(preimage)2範例1：從R2映射到R2的函數(a)求的像(b)求的反像解：3線性轉換(lineartransfor

2、mation)4注意：(1)向量加法及純量乘法運算子無論在線性轉換之前或之後做運算均產生相同的結果在V上的加法在W上的加法在V上的純量相乘在W上的純量相乘(2)從一個向量空間映射到自己本身的線性轉換被稱為線性運算子(linearoperator)5範例2：證明T是從R2映射到R2的線性轉換證明：6故T為線性轉換7範例3：非線性轉換的函數8注意：二個關於“線性”的觀念(1)被稱作是線性函數(linearfunction)，因為它在圖形上是一條直線(2)不是從向量空間R到R的線性轉換，因為它沒保有向量加法及純量相乘的特性9零轉

3、換(zerotransformation)相等轉換(identitytransformation)定理6.1：線性轉換的性質10範例4：線性轉換與基底令為線性轉換，其使得解：(T為線性轉換)11範例5：矩陣定義的線性轉換函數被定義為解：(向量相加)(純量相乘)12定理6.2：矩陣之線性轉換令A為一mn矩陣，函數T被定義為是一從Rn到Rm的線性轉換注意：13所表示的線性轉換具有將R2中的向量以原點為基準逆時針旋轉角度的特性範例7：平面的旋轉證明矩陣解：(極座標表示法)r：v的長度：從正x軸以逆時針計算到v的角度14r：

4、T(v)的長度+：從正x軸以逆時針計算到T(v)的角度因此，向量T(v)和v有相同的長度，除此之外，從正x軸到T(v)的角度為+，也就是T(v)將使v逆時針旋轉度15稱作R3上的投影運算子範例8：R3上的投影下列矩陣表示的線性轉換16證明T是線性轉換範例9：從Mmn到Mnm的線性轉換解：因此，T是從Mmn到Mnm的線性轉換17摘要與復習(6.1節之關鍵詞)function:函數domain:論域codomain:對應論域imageofvunderT:在T映射下v的像rangeofT:T的值域preimag

5、eofw:w的反像lineartransformation:線性轉換linearoperator:線性運算子zerotransformation:零轉換identitytransformation:相等轉換186.2線性轉換的核空間及值域線性轉換之核空間(kernel)令為一線性轉換則向量空間V中滿足的所有向量所構成的集合稱為T的核空間，並記作ker(T)範例1：求線性轉換的核空間解：19範例2：零轉換及相等轉換的核空間(a)零轉換的核空間包含了向量空間V中所有向量(b)相等轉換的核空間只包含了向量空間V中的零向量範例3：

6、求線性轉換的核空間解：20範例5：求線性轉換的核空間解：2122定理6.3：核空間為V的子空間線性轉換的核空間為V的子空間證明：注意：T的核空間亦可稱為T的零空間(nullspace)23範例6：求核空間的基底24解：25定理6.3的推論線性轉換之值域(range)26定理6.4：T的值域為W的子空間證明：27注意：定理6.4的推論28範例7：求線性轉換值域的基底29解：30線性轉換T:V→W的秩(rank)線性轉換T:V→W的核次數(nullity)注意：31定理6.5：秩與核次數的和證明：32範例8：求線性轉換的秩與核

7、次數解：33範例9：求線性轉換的秩與核次數解：34一對一(one-to-one)一對一非一對一35映成(onto)36定理6.6：一對一線性轉換證明：37範例10：線性轉換的一對一與非一對一38定理6.7：映成線性轉換定理6.8：一對一與映成線性轉換證明：39範例11：解：T:Rn→Rmdim(T的論域)rank(T)nullity(T)一對一映成(a)T:Rn→Rm330YesYes(b)T:Rn→Rm220YesNo(c)T:Rn→Rm321NoYes(d)T:Rn→Rm321NoNo40同構(isomorphism)

8、定理6.9：同構的空間及維度證明：4142範例12：同構的向量空間43摘要與復習(6.2節之關鍵詞)kernelofalineartransformationT:線性轉換T的核空間rangeofalineartransformationT:線性轉換T的值域rankofalineartransformat