线性代数第5章第1节.ppt

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1、1.定义1内积一、内积的定义及性质说明1.维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．(Innerproduct)2.内积的运算性质1.定义2令长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质(norm)解单位向量夹角2.１正交的概念２正交向量组的概念正交若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．三、正交向量组的概念及求法(orthogonal)证明３正交向量组的性质定理1例1已知三维向量空间中两个向量正交，试求使构成三维空间的一个正交基.４向量空间的正交

2、基即解之得由上可知构成三维空间的一个正交基.则有解５规范正交基例如定义3同理可知６求规范正交基的方法下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidtorthogonalization’smethod）施密特正交化方法设a1a2ar是向量空间V中的一个基取向量组容易验证b1b2br两两正交且b1b2br与a1a2ar等价把b1b2br单位化即得V的一个规范正交基例2设a1(121)Ta2(131)Ta3(4

3、10)T试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化解令b1a1再令e1e2e3即为所求定义4定理四、正交矩阵与正交变换为正交矩阵的充要条件是的列向量都是单位向量且两两正交．解所以它不是正交矩阵．考察矩阵的第一列和第二列，由于例５判别下列矩阵是否为正交阵．所以它是正交矩阵．由于例６解1．将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化．五、小结2．为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：求一单位向量，使它与正交．思考题思考题解答