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1、第一章三角形的证明4角平分线（1）Contents目录01020304旧知回顾学习目标新知探究随堂练习05课堂小结定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.ACBPMN如图,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.几何语言描述：如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上)这个结论是经常用来
2、证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.ABP那么结合我们前面学习的有关线段垂直平分线的定理及证明方法，你还记得角平分线上的点有什么性质吗?1.能够证明角平分线的性质定理及其逆定理；2.进一步发展自己的推理证明意识和能力，培养将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力.你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质吗?你还记得角平分线上的点有什么性质吗?角平分线上的点到这个角的两边距离相等.你能证明这一结论吗?结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥O
3、B,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在△OPD≌△OPE而△OPD≌△OPE的条件由已知易知它满足公理(AAS).故结论可证.CB1A2PDEO已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.证明：∵OC是∠AOB的平分线∴∠1=∠2∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO∵OP=OP∴△OPD≌△OPE(AAS).∴PD=PECB1A2PDEO几何语言表示：定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一
4、.如图,∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)CB1A2PDEO思考分析你能写出“定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗?逆命题在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.它是真命题吗?如果是.请你证明它.已知:如图所示,PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:点P在∠AOB的平分线上.分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明∠POD=∠POE.BACDEOP已知:如图
5、所示,PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:点P在∠AOB的平分线上.BACDEOP证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB∴△POD和△POE都是Rt△∵PD=PE,OP=OP∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)∴∠POD=∠POE∴OC是∠AOB的平分线∴点P在∠AOB的平分线上逆定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.如图,∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).这个结论又是经常用来证明点在直线上(或
6、直线经过某一点)的根据之一.CB1A2PDEO例1如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F且DE=DF∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）又∵∠BAC=60°∴∠BAD=30°在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10∴DE=AD/2=10/2=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）1.如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的
7、两边的距离相等.C●D●ABO2.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.BAEDCF证明:∵AD是△ABC的角平分线且DE⊥AB,DF⊥AC∴DE=DF∵BD=CD∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴EB=EC1.角平分线的性质定理定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)CB1A
8、2PDEO2.角平分线的判定定理定理：在一个角的内部
