近世代数课件--第三章 环与域.ppt

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1、第三章环与域加群、环的定义交换律、单位元、零因子、整环除环、域无零因子环的特征子环、环的同态多项式环理想剩余类环、同态与理想最大理想商域§1加群、环的定义定义：一个交换群叫做一个加群，假如将群的代数运算叫做加法，并且用称号+表示。因此在加群里n个元的和有意义，这个和用符号即：加群中的唯一元用0表示，称为零元。元a的逆元用-a表示则有运算规则：7/26/2021规定:则有：§1加群、环的定义（0为Ｒ中零元）定义　一个集合Ｒ叫做环，假如1、Ｒ是个加群，即Ｒ对于一个叫做加法的代数运算来说作成一个交换群；２、Ｒ对于一个叫做乘法的运算来说是闭的；３、关于乘

2、法满足结合律：４、关于乘法与加法满足分配律：则有运算规则：§1加群、环的定义（0为Ｒ中零元）§1加群、环的定义7/26/2021规定：则有：§1加群、环的定义§２交换律、单位元、零因子、整环定义　一个环Ｒ叫做交换环，假如其中a,b为Ｒ中任意元。所以有：定义　一个环Ｒ的一个元e叫做一个单位元，假如有其中a为Ｒ中任意元。注：不是所有环都有单位元，如下例。7/26/2021例１Ｒ＝｛所有偶数｝，Ｒ对于普通数的加法和乘法作成一个环，但Ｒ没有单位元。单位元的唯一性：一个环Ｒ如果有单位元则其单位元是唯一的。证明：设Ｒ有两个单位元e和e’则有所以性质成立。注一

3、个环Ｒ中的单位元用1表示，且规定§２交换律、单位元、零因子、整环定义　一个有单位元环的一个元b叫做元a的逆元，假如逆元唯一性：环一个元a若有逆元，则最多只有一个逆元。证明：设a有两个逆元b和b’，则所以性质成立。注：不是环中所有元都有逆元，如整数环中除１和-1外其余元都滑逆元。§２交换律、单位元、零因子、整环用a-1表示a的逆元，且规定则对任何整数都有§２交换律、单位元、零因子、整环定义　若在一个环Ｒ里但则称a是环Ｒ的一个左零因子，b是环Ｒ的一个右零因子。例２　Ｒ＝｛所有模n的剩余类｝规定R中的加法和乘法如下：可以验证Ｒ是一个环，称为模n的剩余类

4、环。若n不是素数，则但所以n非平凡因子均为Ｒ的零因子。§２交换律、单位元、零因子、整环例３　高等代数中一个数域Ｆ上一切n阶方阵对于矩阵的加法和乘法来说做成一个有单位元的环，则当时有非0矩阵乘积为０矩阵，所以有零因子。如但ＡＢ＝０§２交换律、单位元、零因子、整环定理　在一个没有零因子的环里两个消去律成立。反之一个环里消去律成立，则这个环没有零因子。证明：因为Ｒ没有零因子，所以由得和即消去律成立。§２交换律、单位元、零因子、整环反之，假设消去律成立，因为所以由消去律知若则所以环Ｒ没有零因子。§２交换律、单位元、零因子、整环推论　一个环若有一个消去律成

5、立，则另一个消去律也成立。定义　一个环Ｒ叫做一个整环，若１、乘法适合交换律：２、Ｒ有单位元１:3、Ｒ没有零因子：其中a,b为Ｒ中任意元素。例如整数环是一个整环。§２交换律、单位元、零因子、整环§３除环、域例１Ｒ只包括一个元a加法和乘法规定为：则Ｒ是个环，它只一个元a既是0元，也是a的逆元等。例２全体有理数作成的集合对于普通数的加法和乘法作成一个环，显然对于任意一个非０有理数a，都有逆元a-1。定义　一个环Ｒ叫做一个除环，若１、Ｒ至少包含一个不等于零的元；２、Ｒ有一个单位元；３、Ｒ每一个不等零的元都逆元。定义　一个交换除环叫做一个域。7/26/20

6、21除环的性质：１、除环无零因子。因为２、除环Ｒ的不等零的元对于乘法来说作成一个群Ｒ＊称为除环Ｒ的乘法群。注：除环由两个群构成，分配律是一这两个群之间联系的桥梁。§３除环、域所以在域中可以用表示a-1b和ba-1。则有以下结论：但是a-1b不一定等于ba-1，而在域中，则有a-1b＝ba-1方程ax=b和ya=b各有一个唯一解是a-1b和ba-1.§３除环、域１、当且仅当ad=bc时成立；２、３、例３Ｒ＝｛所有复数对｝。这里规定则Ｒ是一个除环，但不是交换环。因为对于非零元均有逆元但是(i,0)(0,1)=(0,i),(0,1)(i,0)=(0,-

7、i)所以这个环是四元数除环。§３除环、域环的分类：环交换环有单位元环无零因子环整环除环域§３除环、域§４无零因子环的特征例１设p是一个素数，则模p的所有剩余类Ｆ构成一个环，则可以证明Ｆ是一个域。证明：只需证明Ｆ的所有非零元Ｆ＊作成一个乘群。１、结合律成立，则数的乘法结合律知；２、由于p是素数，所以p不整除a，p不整除b时一定有p不整除ab,所以时有即讨论规则：7/26/2021３、p不整除a，但p整除a(x-x’)时，则p整除x-x’，即有所以Ｆ＊是一个乘法群，则Ｆ是一个域。§４无零因子环的特征注：在该域中，一个非零元a有p[a]=[0]。证明：

8、因为p[a]=[a]+[a]+…+[a]=[pa]=[0].分析原因：是因为Ｆ中除零元外，其余元的阶（加法）均为p是一个有限数。定理１