量子力学 第5章1.ppt

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1、体系Hamilton量H的本征方程势能只与r有关而与θ,无关，使用球坐标较为方便。于是方程可改写为：V=-Ze2/r考虑质量为μ，电荷为–e的电子在电荷为+Ze的核所产生的电场中运动，吸引势能为：xz球坐标ry此式使用了角动量平方算符L2的表达式：（一）有心力场下的Schrödinger方程（1）分离变量化简方程ψ(r,θ,)=R(r)Ylm(θ,)令注意到L2Ylm=l(l+1)2Ylm则方程化为：令R(r)=u(r)/r代入上式得：讨论E<0情况，方程可改写如下：（二）求解Schrödinger方程令（2）求解解的渐

2、近行为(1)r→∞时，方程变为有限性条件要求A'=02解的渐近行为(2)r→0时，方程变为有限性条件要求C'=0解的形式代入方程，得引入与合流超几何方程比较，得取级数解代入方程（11）式中第1项整理得代入方程（11）系数为0得得到递推公式取由递推公式合流超几何函数当方程的解当合流超几何函数要截断成合流超几何多项式由递推公式将带入递推公式所以解出又因为所以解出其中为第一波尔轨道半径合流超几何函数径向波函数总波函数使用球函数的归一化条件：利用拉盖尔多项式的封闭形式采用与求谐振子波函数归一化系数类似的方法就可求出归一化系数表达式如下：（

3、四）归一化系数前几个径向波函数Rnl表达式：前几个径向波函数Rnl表达式：（2）本征值和本征函数（五）总结（1）本征方程能量只与主量子数n有关，而本征函数与n,l,m有关，故能级存在简并。当n确定后,l=n-nr-1,所以l最大值为n-1。当l确定后,m=0,±1,±2,...,±l。共2l+1个值。即对能量本征值En由n2个本征函数与之对应，也就是说有n2个量子态的能量是En。n=1对应于能量最小态，称为基态能量，E1=μZ2e4/22，相应基态波函数是ψ100=R10Y00，所以基态是非简并态。当E<0时，能量是分立谱，束缚态

4、，束缚于阱内，在无穷远处，粒子不出现，有限运动,波函数可归一化为一。n=nr+l+l，l=0,1,2,...，nr=0,1,2,...所以对于En能级其简并度为：（2）能级简并性（3）简并度与力场对称性由上面求解过程可以知道，由于库仑场是球对称的，所以径向方程与m无关，而与l有关。因此，对一般的有心力场，解得的能量E不仅与径量子数nr有关，而且与l有关，即E=Enl，简并度就为(2l+1)度。但是对于库仑场-Ze2/r这种特殊情况，得到的能量只与n=nr+l+1有关。所以又出现了对l的简并度，这种简并称为附加简并。这是由于库仑场具有

5、比一般中心力场有更高的对称性的表现。当考虑Li,Na,K等碱金属原子中最外层价电子是在由核和内壳层电子所产生的有心力场中运动。这个场不再是点电荷的库仑场，于是价电子的能级Enl仅对m简并。或者说，核的有效电荷发生了变化。当价电子在r1和r2两点，有效电荷是不一样的，-Ze2/r随着r不同有效电荷Z在改变，此时不再是严格的点库仑场。（4）宇称当空间反射时球坐标系的变换是：于是波函数作如下变化或1.exp[im]exp[im(+)]=(-1)mexp[im]，即exp[im]具有m宇称。因为cos→cos(-θ)=–co

6、sθ或ζ→–ζ，所以Pm(ζ)→Pm(–ζ)，波函数的宇称将由Pm(ζ)的宇称决定。+-xyz根据球谐函数形式：Ylm变换由exp[im]和Plm(cos)两部分组成。Pm(ζ)的宇称由Pm(ζ)封闭形式知,其宇称决定于又因为(ζ2-1)是ζ的偶次幂多项式，所以当微商次数(+m)是奇数时，微商后得到一个奇次幂多项式，造成在ζ→-ζ变换时，多项式改变符号，宇称为奇；当微商次数(+m)是偶数时，微商后得到一个偶次幂多项式，造成在ζ→-ζ变换时，多项式符号不变，宇称为偶。所以Pm(cos)具有(+m)

7、宇称，即：Pm(cos)→Pm(cos（π-）)=Pm(-cos)=(-1)+mPm(cos)综合以上两点讨论于是总波函数在空间反射下作如下变换：应该指出的是，cosθ是θ的偶函数，但是cos(π-θ)=-cos(θ)却具有奇宇称，这再次说明，函数的奇偶性与波函数的奇偶宇称是完全不同的两个概念，千万不要混淆起来。作业P114(5.3)(5.8)（一）二体问题的处理（二）氢原子能级和波函数（三）类氢离子（四）原子中的电流和磁矩氢原子量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意得解释。氢

8、原子是最简单的原子，其Schrödinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。1x+r1r2rR2Oyz一个电子和一个质子组成的氢原子的Schrödinger方程是：其中（一）二体问题的处理1x+r1