量子力学导论Chap10-1.ppt

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1、第十章定态问题的常用近似方法1、非简并态微扰论微扰的定义非简并态微扰展开法2、简并态微扰论简并态与体系对称性简并态微扰展开法3、变分法变分原理里兹(Ritz)变分法哈特利自洽场方法4、分子玻恩-欧本海默(Born-Oppenheimer)近似双原子分子转动和振动5、氢分子与共价键6、Fermi气体模型Fermi气体模型的概念电子气的磁化率内容提要近似方法的出发点近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求较复杂问题的近似（解析）解近似解问题分为两类（1）体系Hamilton量不是时间的显函数——定态问题1.定态微扰论；2.变分法（2）体

2、系Hamilton量显含时间——状态之间的跃迁问题与时间t有关的微扰理论§10.1非简并定态微扰理论1、微扰的定义可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系Hamilton量不显含时间，而且可分为两部分：设H0所描写的体系可以精确求解的H是很小，视为微扰。如何求解整个体系的薛定谔方程2、非简并微扰展开法1)薛定谔方程微扰展开设<<1，可将En、n展开成的幂级数：将En、n展开式代入上式左右两边，得略去下标n比较同幂次项，得即(1)和(2)满足的方程，可得能量和态矢的一、二级修正项H0的本征方程，零级项根据

3、完备性假定，可以将态矢的一级修正展开代回前面的一级修正项并计及零级项，得左乘m(0)*，积分，利用H0的本征函数正交归一性质2)态矢(波函数)和能量的一级修正其中(1)m=k能量一级修正就是微扰在零级波函数下的平均值(2)mk在一级近似下，体系能量本征值和本征波函数为ak(1)＝0n=k求和项舍去3)能量的二级修正令代回前面的二级修正项并计及零级项、一级修正项的结果，得左乘m(0)*,积分,考虑其正交归一性质m=k在二级近似下，体系能量本征值为总结上述,在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：要求二级数收敛。由于不知道级数

4、的一般项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，后项远小于前项。4)微扰理论适用条件由此我们得到微扰理论适用条件是：这就是本节开始时提到的关于H′很小的明确表示式。当这一条件被满足时，由上式计算得到的一级修正通常可给出相当精确的结果微扰适用条件表明：(2)

5、Ek(0)–En(0)

6、要大，即能级间距要宽例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数n2成反比，即En=-μZ2e2/22n2(n=1,2,3,...)由上式可见，当n大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（n大）的修正，而只适用于计算低能级（n小）的修正。(1)

7、

8、Hnk

9、=

10、<n(0)

11、H

12、k(0)>

13、要小，即微扰矩阵元要小例1.一电荷为e的线性谐振子，受恒定弱电场ε作用。电场沿x正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。解：（1）电谐振子Hamilton量将Hamilton量分成H0+H两部分，在弱电场下，上式最后一项很小，可看成微扰。实例（2）写出H0的本征值和本征函数E(0),k(0)（3）计算E(1)上式积分等于0,因为被积函数为奇函数（4）计算能量二级修正欲计算能量二级修正，首先应计算Hnk矩阵元利用线性谐振子本征函数的递推公式：由此式可知，能级移动与n无关，即与扰动前振子的状态无

14、关。（5）讨论：1.电谐振子问题亦可在粒子数表象中求解微扰矩阵元计算二级修正：代入能量二级修正公式：2.电谐振子的精确解实际上这个问题是可以精确求解的，只要我们将体系Hamilton量作以下整理：其中x=x–[eε/μω2]，可见，体系仍是一个线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时的线性谐振子的相应能级低{e2ε2/2μω2}，而平衡点向右移动了{eε/μω2}距离。由于势场不再具有空间反射对称性，所以波函数没有确定的宇称。这一点可以从下式扰动后的波函数ψk已变成ψk(0),ψk+1(0),ψk-1(0)的叠加看出。例2.设Hamilton量

15、的矩阵形式为：（1）设c<<1，应用微扰论求H本征值到二级近似；（2）求H的精确本征值；（3）在怎样条件下，上面二结果一致?解：（1）c<<1，可取0级和微扰Hamilton量分别为：H0是对角矩阵，是HamiltonH0在自身表象中的形式。所以能量的0级近似为：E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2由非简并微扰公式得能量一级修正：能量二级修正为：准确到二级近似的能量本征值为：设H的本征值是E，由久期方程可解得：解得：(3)将准确解按c(<<1)展开：比较（1）和（2）之解，可知，微扰论二级近似结果与精确解展开式不计c4及以后高阶项的结果

16、相同。(2)精确解：