量子力学4-1.ppt

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1、第四章态和力学量的表象根据量子力学的基本原理，微观粒子的量子态用波函数描述，力学量用线性厄密算符描述。前面所使用的波函数及力学量算符均以坐标为变量而写出其具体表达形式的。是否有其它描述方法？回答是：不仅有，而且非常必要！因为恰当选择描述体系的具体形式（自变量）可给运算带来很多方便。第四章态和力学量的表象§4.1态的表象量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。动量本征函数4.1-1组成完全系，任意波函数都可以由其展开为4.1-24.1-3可以证明4.1-44.1-54.1-6且有推广到任一力学量Q表象4.1-74.1-

2、8设它们都是归一化的，有4.1-94.1-104.1-11其共轭矩阵是一个行矩阵，4.1-124.1-9式变为4.1-13若力学量还同时具有连续本征值q,则有4.1-144.1-154.1-16讨论：（1）同一个态可以在不同的表象中用波函数来描写，表象不同，波函数形式不同。这和普通空间向量的表示方法是完全相似的。所以态矢量所在的空间是无数维的函数空间，这种空间称为希尔伯特空间。（3）对应关系量子态——希尔伯特空间中的态矢量；波函数——态矢量在特定基底中的分量，可用列矩阵或波函数来表示；不同表象——不同基，不同坐标系；本征

3、函数——基矢。对于不同表象，波函数的表示不同，物理意义不同。同一个量子态，可以用不同、但相互等价的表象来表述。§4.2算符的矩阵表示算符在不同表象中应有不同的表述式4.2-1代入4.2-1得4.2-24.2-3引入记号4.2-44.2-3式改写为4.2-5此式就是4.2-1式在Q表象中的表示式。4.2-64.2-7下面考察厄密算符在Q表象中的矩阵特点根据厄密算符定义式4.2-8满足此式的矩阵称为厄密矩阵。厄密算符的矩阵是厄密矩阵。根据厄密矩阵的定义上式可写为算符在自身表象中的矩阵形式？结论：算符在其自身表象中是一个对角矩

4、阵。若Q只具有连续的本征值q，以上讨论依然成立，只是各量是连续变化的，求和换为积分。4.2-94.2-10举例：1坐标表象2动量表象4.2-114.2-12对于既有分立本征值，又有连续本征值的情况，把前面讨论合起来既可。（1）动量算符动量算符在自身表象中即为动量（或）（2）坐标算符坐标算符在动量表象中为动量表象中算符x的本征函数为又坐标表象中x的本征函数为，所以（3）角动量算符若将代入，得动量表象中角动量算符（4）哈密顿算符在动量表象中的表示3能量表象以的本征函数为基矢，可能是一维无限深势阱一维谐振子中心力场算符在能量

5、表象中的矩阵元哈密顿算符哈密顿算符在自身表象中为对角矩阵，能量本征值一目了然例题一求能量表象中一维无限深势阱中粒子的坐标与动量的矩阵元解：基矢能级当时，对角元为当时，非对角元为