2章整合提升.ppt

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1、本章整合提升共点、共线、共面问题共点、共线、共面是我们把空间中的问题转化到平面中问题的基础．关于多点共线问题常常只需证明它们都在某两个平面的交线上；多线共点问题常证其他线都过某两条线的交点；多点共面问题常证其他点在某三点或四点确定的平面上；多线共面问题常证其他线在某两条直线确定的平面内．上述所说的是常用方法，具体问题要具体分析，做题后要善于总结，你将受益匪浅．如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)EG与HF的交

2、点在直线AC上．【证明】(1)∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD.又EF∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．(2)∵G，H不是BC，CD的中点，∴EF∥GH，且EF≠GH，∴EG与FH必相交，设交点为M，而EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD，∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD，∴M∈AC，即GE与HF的交点在直线AC上.空间中的位置关系空间中线面位置关系的有关问题，需要灵活地运用基础知识，对空间想象力和逻辑推理能力有较高的要求．解题时，一般先将符号语言译成文字语言，然后画出相应的图形，当图形位置不确定时，要考虑各种可能

3、的情况，再利用有关公理、定理或位置关系进行求解．下列命题正确的有()①若一直线a与平面α内一直线b平行，则a∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④垂直于同一条直线的两个平面平行．A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】由a∥b，b⊂α，可得出a⊂α，或a∥α，①不正确．a⊄α有两种情况，即a∥α与a与α相交，②不正确．垂直于同一条直线的两条直线可能相交、平行或异面，③不正确．④正确．故选B.【答案】B平行问题立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由公理4和平面平行的性质定理可以证明线线平行，由线

4、面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行；根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等；二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可证明线面平行；三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行；由面面平行可以得出线面平行和线线平行．平行关系的转化是：如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．垂直问题直线

5、和平面垂直、平面和平面垂直是直线和平面相交、平面和平面相交的特殊情况．对这两种情况的认识，可以从已有的线线垂直、线面垂直关系出发进行推理和论证．无论是线面垂直还是面面垂直，都源于线线垂直，这种“降维”的思想方法很重要．在处理实际问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论“反探”所需的关系，从而架设已知和未知的桥梁．下图是垂直相互转化的示意图．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD

6、；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．【证明】(1)∵在菱形ABCD中，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)连接PG，如图，∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB.∴AD⊥平面PGB，∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.(3)当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明：在△PBC中，

7、EF∥PB，又在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，FE∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.由(2)推知PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.空间中的角空间中的角包括异面直线所成的角、直线和平面所成的角和二面角，如何准确、恰当地找出或作出空间角的平面角，是解答有关空间角的关键．空间角的题目一般都是多种知识的交汇点，因此它必是每年高考重点考查的内容之一，应引起足够的重视．如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的度

8、数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成二面角的大小．【解】(1)∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵OC⊥OB，AB⊥平面BC′，∴OC⊥AB且AB∩BO＝B.