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1、1复变函数论多媒体教学课件DepartmentofMathematics第二节分式线性变换2一分式线性变换及其分解1分式线性变换概念(1)函数称为分式线性变换,简记为(2)在扩充z平面上补充定义3(4)由定理7.1注,(7.3)在扩充z平面上是保域的42分式线性变换的分解5(1)线性变换(7.3)可分解为下述简单类型变换的复合(2)(I)(II)型变换的几何性质旋转位似(伸缩)平移6旋转与伸长(或缩短)变换平移映射7此变换可进一步分解为:关于单位圆周的对称变换;关于实轴的对称变换....规定:无穷远点的对称点是圆心O.8.
2、...即:9例1试将线性变换分解为简单变换的复合.解因此可分解为的复合.10例2试证:除恒等变换外,一切线性变换(7.3)恒有两个相异的或一个二重的不动点证明线性变换(7.3)的不动点适合即上面系数不全为零,11这时(7.3)为有不动点12不动点二分式线性变换的共形13定义7.3由定义7.3引入两个反演变换143定理7.7分式线性变换(7.3)在扩充z平面上是共形的.注在无穷远点处,不考虑伸缩性的不变性.15三分式线性变换的保交比性1定义7.4注162定理7.8在分式线性变换下，四点的交比不变。证明因此17注因此只需指定三
3、对对应点:且除相差一个常数因子外是唯一的.183定理7.9注三对对应点唯一确定一分式线性变换.证明先考虑已给各点都是有限点的情形,设所求分式线性函数是那么，由19得同理，有因此，有20由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。那么，由同理有由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。其次，如果已给各点除外都是有限点。则所求分式线性函数有下列的形式：21例3求将分别变为的分式线性变换.解所求的分式线性变换为即整理得22四分式线性变换的保圆周(圆)性对(I)显然将圆
4、周(或直线)变为圆周(或直线).对(II)型:因圆周(或直线)可表为它表示圆周或直线.231定理7.10分式线性变换将平面上圆周(或直线)变为圆周(或直线).注1在扩充z平面上,直线可视为过无穷远点的圆周.事实上,(7.11)可写成注2同时圆被共形变换成圆---分式线性变换的保圆性.2425............26注3在扩充z平面上给定区域K及D,其边界是的圆周,则K可共形变换成D.注4例4试决定在分式线性变换下实轴与上半z平面及单位圆周的像.解(1)因系数为实数,从而该线性变换把实轴变为实轴,故将实轴为边界的两个区域
5、,即上下两个半平面,27(2)扩充z平面上的圆周由三个点决定,28五分式线性变换的保对称性1定义7.5注证明“必要性”29则所以“充分性”30....2定理7.1证明31....323分式线性变换的保对称性定理7.12证明由分式线性变换的保角性,由定理7.11,33解由定理7.12,例5求线性变换变为上半平面,使将圆盘34由线性变换的保交比性,所求的线性变换为即整理后得35六线性变换的应用由于线性变换具有共形性,保交比性,保圆(圆周)性和保对称点性,它在处理边界为圆弧或直线的区域变换中,起着重要的作用,下面介绍一些类型.例
6、636事实上,所述变换将实轴变为实轴,且当z为实数时即实轴变为实轴是同向的,或解37例7解故38即故解该方程组得故所的线性变换为39例8解由线线变换的保对称性,40因此这个变换应具有形式,故可令从而所求的变换为41注1确定变换(7.13)的k,只需再给一对边界对应点.注242例9解由线线变换的保对称性,因此所求变换具有形式43利用单位圆周变为单位圆周的条件知,因此令从而所求的变换为44注1确定变换(7.14)的k,只需再给一对边界对应点.注245例1046解作线线变换复合上述两个变换得整理得47即由得从而所求的变换为48例
7、11解(1)先作伸缩变换(2)再作平移变换49使得于是(4)排列对应点50(5)将以上线性变换复合起来,即得所求的线性变换为5152本节结束谢谢！ComplexFunctionTheoryDepartmentofMathematics
