复数的三角形式与指数形式.ppt

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1、第四讲复数的三角形式与指数形式在中学，我们已经学习过复数及其用代数形式a+bi表达的四则运算法则及算律。在《大学数学》中我们学习过建立在实数集合上的微积分——称为实分析；同样，在复数集合上也可以讨论函数、导数、微分、积分等问题，这就是大学数学本科（或研究初生）专业里一门必修课《复变函数》等数因此我们有必要对复数了解得更多些。学专题本讲讲三个问题研究4.1复数的三角形式4.2复数的指数形式4.3复数的应用4.1、复数的三角形式一、复数的幅角与模我们知道复数a+bi对应着复平y面上的点(a,b)，也对应复平

2、面上一个向量（如右图所示）x初这个向量的长度叫做复数a+bi等的模，记为

3、a+bi

4、，一般情况数学下，复数的模用字母r表示。专题同时，这个向量针对x轴的正方向有一个方向角，我们称为研究幅角，记为arg(a+bi)，幅角一般情形下用希腊字母θ表示。显然arcos,brsin把它们代入复数的代数形式得：abircosirsinr(cosisin)4.1、复数的三角形式这样，我们把r(cosisin)叫做复数a+bi的三角形式abircosirsinr(cosi

5、sin)二、复数三角形式的运算法则引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘初除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。等数所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运学专算法则。题研1、复数的乘法究设z1r1(cos1isin1)z2r2(cos2isin2)那么z1z2[r1(cos1isin1)][r1(cos1isin1)]4.1、复数的三角形式二、复数三角形式的运算法则1、复数的乘法zz[r(cosisin)][r(cosisin)

6、]12111222rr(coscossinsin)121212初irr(sincoscossin)等121212数rr[cos()isin()]学121212专题即zzrr[cos()isin()]研12121212究这说明，两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加这个运算在几何上可以用下面的方法进行：将向量z1的模扩大为原来的r2倍，然后再将它绕原点逆时针旋转角θ2，就得到z1z2。4.1、复数的三角形式二、复数三角形式的运算法则2、复数的除法r(

7、cosisin)111zz12r(cosisin)222初r(cosisin)(cosisin)11122等数r2(cos2isin2)(cos2isin2)学专r1题[(cos1cos2sin1sin2)研r2究i(sincoscossin)]1212r1[cos()isin()]1212r24.1、复数的三角形式二、复数三角形式的运算法则2、复数的除法zr11即[cos()isin()]1212zr22

8、这说明，两个复数相除等于它们的模相除而幅角相减初等这个运算在几何上可以用下面的方法进行：数学将向量z1的模缩小为原来的r2分之一，然后再将它绕原点专题顺时针旋转角θ2，就得到z1÷z2。研究3、复数的乘方。利用复数的乘法不难得到nnzr(cosnisinn)这说明，复数的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。4.1、复数的三角形式二、复数三角形式的运算法则3、复数的乘方。nnzr(cosnisinn)这个运算在几何上可以用下面的方法进行：将向量z1的模变为原来的n次方，然后再将它绕原点逆时

9、针初旋转角nθ，就得到zn。等数学4、复数的开方专题对于复数zr(cosisin)，根据代数基本定理及其研究推论知，任何一个复数在复数范围内都有n个不同的n次方根。设zr(cosisin)的一个n次方根为(cosisin)4.1、复数的三角形式二、复数三角形式的运算法则4、复数的开方nnn那么[(cosisin)](cosnisinn)n所以r,n2k,(k0,1,2,)初2k2k等即nr,,(k0,1,

10、2,)数nnn学专显然，当k从0依次取到n－1,所得到的角的终边互不相同，题研但k从n开始取值后，前面的终边又周期性出现。究因此，复数z的n个n次方根为2k2knr(cosisin),(k0,1,2,,n1)knn4.1、复数的三角形式二、复数三角形式的运算法则4、复数的开方2k2knr(cosisin),(k0,1,2,,n1)knn从求根公式可以看出，相邻两个根之间幅角相差n初等所以复