格林公式及其应用(打印).ppt

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1、第二节一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件格林公式及其应用第八章（一）、区域连通性的分类设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD（二）、格林公式定理1边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.证明(1)yxoabDcdABCE同理可证yxodDcCE证明(2)D两式相加得GDFCEAB证明(3)由(2)知xyoL1.简化曲线积分（三）、简单应用AB2.简化二重积分xyo（例3计算解：可直接化为对x的定积分，但计算量较大。这里用格林公式。从　　　到（解xyo

2、Lyxoxyo(注意格林公式的条件)小结：（1）L是D的边界，在D上简单，进而易于计算时，可应用格林公式计算注:此例中所作的辅助圆l一定要是D内的圆周（即r充分小）（2）L不封闭时，采取“补线”的方法：要求右端的二重积分及曲线积分易于计算。选用直线段、折线、圆、半圆、椭圆、抛物线等。（3）如在D上P、Q一阶偏导连续，且处处有则如D内除点　　　　　外均有则其中　是包围点　　　的与　同向的光滑的简单闭曲线，特别地　是以　　　为中心的圆、椭圆等（半径或长短半轴大小不限，只要内部没有别的“坏点”）例5计算逆时针　　　　方向。解：除原点外处处有取,逆时针方向，则3.计算平面面积解G

3、yxoBA如果在区域G内有二、曲线积分与路径无关的条件1、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设是单连通域,在内具有一阶连续偏导数,(1)沿中任意光滑闭曲线,有(2)对中任一分段光滑曲线,曲线积分(3)(4)在内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在内是某一函数的全微分,即说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线则(根据条件(1))证明(2)（3）在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点,与路径无关,有函数证明(3)（4）设存在函数使得则在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都

4、有证明(4)（1）设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求　　　　　　　在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;例5.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L所围原式圆周区域为D,则例6.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)，使。。例7.验证在右半平面　　　内存在原函数,并求出它.证:

5、令则由定理2可知存在原函数或例8.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.取圆弧注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!内容小结1.格林公式2.等价条件在D内与路径无关.在D内有对D内任意闭曲线L有在D内有设P,Q在单连通域D内具有一阶连续偏导数,则有思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:2.设提示:备用题1.设C为沿从点依逆时针的半圆,计算解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点2.质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到点B(3,4),到原点的距离,解:由图知

6、故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与y轴正向夹角为求变力F对质点M所作的功.(90考研)F的大小等于点M在此过程中受力F作用,