离散数学复习题及参考答案.doc

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1、《离散数学II－抽象代数》复习题一单项选择题1、设集合S={a,b}，*运算如下定义。是代数系统的是（A）。*ab*ab*ab*abaaaaaa,baabab无baaba,bbbbebba2、关于代数系统的某个二元运算*的幺元，说法正确的是（A）。A．幺元不一定存在B．若幺元存在，不一定唯一C．除非幺元存在且*运算满足结合律，幺元才唯一D．幺元一定不是零元3、已知代数系统和满同态，S∩S1=Φ。若中存在幺元x，则（B）。A．一定存在幺元，幺元还是xB．一定存在幺元，幺元不是

2、xC．不一定存在幺元D．一定不存在幺元4、下列代数系统不是群的是（C）。A．S={1,3,4,5,9}，*是模11的乘法B．S是有理数，*是一般的加法C．S是有理数，*是一般的乘法D．S是整数，*是一般的加法5、关于群正确的说法是（C）。A．群一定存在零元B．群一定不存在零元C．群一定存在幺元D．群一定不存在幺元二填空题1、一个代数系统，如果a,b∈S,a*b=b*a/a,b,c∈S,(a*b)*c=a*(b*c)，则*满足交换律/结合律。2、一个代数系统，如果a,b,c∈S,a*(b+c)=

3、(a*b)+(a*c)且(b+c)*a=(b*a)+(c*a)，则*对+满足分配律。43、设是群，对a,b∈G，填写以下证明过程每步的理由。(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*(a-1)*满足结合律=e逆元定义、幺元定义4、设是环，0是环的加法幺元、乘法零元。对a,b∈R，-a表示a的加法逆元。填写以下证明过程每步的理由。(-a)·b=(-a)·b+(a·b+(-(a·b)))a·b+(-(a·b))=0,(-a)·b+0=(-a)·b=((-a)·b+a·b)+(-(a·b))+满足结

4、合律=((-a)+a)·b+(-(a·b))·对＋满足分配律=0·b+(-(a·b))(-a)+a＝0=-(a·b)0·b=0,0+(-(a·b))=(-(a·b))三计算题1、设S={a,b,c,d,e}，S上的运算*运算表如下：*abcdeaaacbdbabcddcccbbddbdbededdddd（1）*是否有零元？无零元。（2）*是否有幺元？无幺元。（3）每个元素是否有逆元？因为无幺元，所以每个元素都无逆元。（4）*是否满足交换律？因为运算表是对称矩阵，所以*满足交换律。2、S={a,b,c}，构造群，并使a

5、为幺元。（1）给出*的运算表；*abcaabcbbcaccab技巧：首先完成幺元的各行、列，然后根据b、c互为逆元，完成b*c=a，4c*b=a，最后根据运算表每行都要出现所有元素完成b*b=c，c*c=b。（1）写出各个元素的阶；因b3=a，c3=a，所以b、c的阶都是3。（2）找出的所有子群；2个子群：<{a},*><{a,b,c},*>（3）该群是否是循环群？若不是，说明理由；若是，找出所有的生成元。是循环群。b和c都是生成元。3、设<{a,b,c,d},+,*>是环，+和*由以下两表定义。+abcdaabcd

6、bbcdaccdabddabc*abcdaaaaabacaccaaaadacaa判断：（1）该环是否是可交换环？因*运算满足交换律，所以是可交换环。（2）是否是含幺环？因*运算没有幺元，所以不是含幺环。（3）是否是含零因子环？如果是，找出所有零因子。*运算有零元a，因b*c=a，c*d=a，因此有零因子b、c、d。四证明题1、设有幺元a、零元b，并且S的元素个数大于1。证明零元b一定无左、右逆元。此题实际是课本P211定理10.5的证明。2、设f、g都是到的同态，并且*、+都满足交换律和结合律，如

7、下定义的函数h：A"Bh(x)=f(x)+g(x)4证明：h是到的同态。此题是课本P220第5题的作业。证明：为证h是到的同态，根据同态定义，需证明对a,b∈A，有h(a*b)=h(a)+h(b)。根据h定义，h(a*b)=f(a*b)+g(a*b)根据f是到的同态，f(a*b)=f(a)+f(b)根据g是到的同态，g(a*b)=g(a)+g(b)于是h(a*b)=f(a)+f(b)+g(a)+g(b)=(f(a)+g(a))+(f(b)+g(b)

8、)(*、+满足交换律和结合律)=h(a)+h(b)(h函数的定义)3、设为群，定义集合S={x

9、x∈G∧y(y∈G"x*y=y*x)}。证明为的子群。此题是课本P236第10题作业。证明：为证为的子群，需证明以下3点：（1）G