《圆的对称性》课件.ppt

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1、27.1圆的认识——圆的对称性1．以旧引新，引导探究.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.●O可利用折叠的方法即可解决上述问题.圆也是旋转对称图形.用旋转的方法可解决下面问题.圆是轴对称图形.将图1中的扇形AOB（阴影部分）绕点O逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？图1ABO图2ABOB’A’扇形AOB旋转到扇形A’OB’的位置，我们可以发现，在旋转过程中，∠AOB=∠A’OB’,AB=A’B’⌒⌒AB=A’B’在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相

2、等。在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，所对的弦相等。在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角相等，所对的弧相等。DCOBA12例1如图，在⊙O中，,∠1＝45o，求∠2的度数。⌒⌒AC=BDAB=CD∴⌒⌒∴∠2＝∠1＝45°AD－BC＝BD－BC⌒⌒⌒⌒⌒⌒AC=BD解：∵∴我们还知道：圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。OOO试一试我们如何十分简捷地将一个圆2等分，4等分，8等分。AB••(2)动手操作，观察猜想.•O•CDE┐••••操作：CD是圆O的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥

3、CD，将圆O沿CD对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？猜想：AE=BE,AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒AB•••O•CDE┐••••求证：AE=BE,AD=BD，AC=BC⌒⌒⌒⌒已知：在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB于点E分析：直径CD所在直线既是等腰三角形OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴，把⊙O沿直径CD折叠，由图形的重合，即可得到所求证结论。(3)指导论证，引申结论.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧直径（或过圆心的直线）垂直于弦题设结论×判

4、断题：(1)过圆心的直线平分弦；（）(2)垂直于弦的直线平分弦；（）(3)⊙O中，OE⊥弦AB于E，则AE=BE.（）O•ABE(3)×√OABCDE(1)•OABCDE(2)•例1如图在⊙O中，直径CD交弦AB于点E，AE=BE求证：CD⊥AB，AB••OCDE•••AD=BD，AC=BC⌒⌒⌒⌒证明：连结AO、BO，∵AO=BO∴△AOB为等腰三角形∵AE=BE∴CD⊥AB∵CD是直径，∴推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。AD=BD，AC=BC⌒⌒⌒⌒下列命题是否正确，说明理由1、弦的垂直平

5、分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧.2、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧.小组讨论知二推三总结五个条件(1)垂直于弦；(2)过圆心；(3)平分弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧.规律•OABE└解：连结OA，作OE⊥AB于E，则OE=3cm,AE=BE∵AB=8cm∴AE=4cm在Rt中有OA==5cm∴⊙O的半径为5cm解后指出：从例2看出圆的半径OA，圆心到弦的垂线段OE及半弦长AE构成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理结合起来，解决这类问题就显得很容易了。(4)多方练习，分层

6、评价.例2已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.•ABDCEO•oCDE•CDOE32616A组在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm，则圆心到弦的距离是()cmB组在圆O中弦CD＝24，圆心到弦CD的距离为5,则圆O的直径是()C组若AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，AE＝16，BE=4,则CD＝()练习•OAB┐D解：过O作OD⊥AB于点D,则AD=BD∵AB=cm∴AD=cm∵⊙O的直径为4cm∴OA＝2cm在Rt△OAD中∵cos∠OAB＝∴锐角∠OAB＝30°你还有

7、没有其它方法？例3如图已知⊙O的直径为4cm，弦AB=cm，求∠OAB的度数。(5)反思小结，布置作业.1、对垂径定理的理解(1)证明定理的方法是典型的“叠合法”；(2)定理是解决有关弦的问题的重要方法；(3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。2、关于垂径定理的运用(1)辅助线的常用作法(2)注意把问题化为解直角三角形的问题