算法复杂性分析.ppt

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1、算法复杂性分析算法复杂性=算法所需要的计算机资源算法的时间复杂性T(n)；算法的空间复杂性S(n)。其中n是问题的规模（输入大小）。算法的时间复杂性（1）最坏情况下的时间复杂性Tmax(n)=max{T(I)

2、size(I)=n}（2）最好情况下的时间复杂性Tmin(n)=min{T(I)

3、size(I)=n}（3）平均情况下的时间复杂性Tavg(n)=其中I是问题的规模为n的实例，p(I)是实例I出现的概率。算法渐近复杂性T(n),asn;(T(n)-t(n))/T(n)0，asn;t(n)是T(n)的渐近性态，为算法的渐近复杂性。在数学上，t(n)是T(n)的渐近表达

4、式，是T(n)略去低阶项留下的主项。它比T(n)简单。渐近分析的记号在下面的讨论中，对所有n，f(n)0，g(n)0。（1）渐近上界记号OO(g(n))={f(n)

5、存在正常数c和n0使得对所有nn0有：0f(n)cg(n)}（2）渐近下界记号(g(n))={f(n)

6、存在正常数c和n0使得对所有nn0有：0cg(n)f(n)}（3）非紧上界记号oo(g(n))={f(n)

7、对于任何正常数c>0，存在正数和n0>0使得对所有nn0有：0f(n)

8、对于任何正常数c

9、>0，存在正数和n0>0使得对所有nn0有：0cg(n)

10、存在正常数c1,c2和n0使得对所有nn0有：c1g(n)f(n)c2g(n)}定理1：(g(n))=O(g(n))(g(n))渐近分析记号在等式和不等式中的意义f(n)=(g(n))的确切意义是：f(n)(g(n))。一般情况下，等式和不等式中的渐近记号(g(n))表示(g(n))中的某个函数。例如：2n2+3n+1=2n2+(n)表示2n2+3n+1

11、=2n2+f(n)，其中f(n)是(n)中某个函数。等式和不等式中渐近记号O,o,和的意义是类似的。渐近分析中函数比较f(n)=O(g(n))ab;f(n)=(g(n))ab;f(n)=(g(n))a=b;f(n)=o(g(n))ab.渐近分析记号的若干性质（1）传递性：f(n)=(g(n))，g(n)=(h(n))f(n)=(h(n))；f(n)=O(g(n))，g(n)=O(h(n))f(n)=O(h(n))；f(n)=(g(n))，g(n)=(h(n))f(n)=(h(n))；f(n)=o(g(n))，g

12、(n)=o(h(n))f(n)=o(h(n))；f(n)=(g(n))，g(n)=(h(n))f(n)=(h(n))；（2）反身性：f(n)=(f(n))；f(n)=O(f(n))；f(n)=(f(n)).（3）对称性：f(n)=(g(n))g(n)=(f(n)).（4）互对称性：f(n)=O(g(n))g(n)=(f(n))；f(n)=o(g(n))g(n)=(f(n))；（5）算术运算：O(f(n))+O(g(n))=O(max{f(n),g(n)})；O(f(n))+O(g(n))=O(f(n)+g(n))；O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)

13、*g(n))；O(cf(n))=O(f(n))；g(n)=O(f(n))O(f(n))+O(g(n))=O(f(n))。规则O(f(n))+O(g(n))=O(max{f(n),g(n)})的证明：对于任意f1(n)O(f(n))，存在正常数c1和自然数n1，使得对所有nn1，有f1(n)c1f(n)。类似地，对于任意g1(n)O(g(n))，存在正常数c2和自然数n2，使得对所有nn2，有g1(n)c2g(n)。令c3=max{c1,c2}，n3=max{n1,n2}，h(n)=max{f(n),g(n)}。则对所有的nn3，有f1(n)+g1(n)c1f(n)+c

14、2g(n)c3f(n)+c3g(n)=c3(f(n)+g(n))c32max{f(n),g(n)}=2c3h(n)=O(max{f(n),g(n)}).算法渐近复杂性分析中常用函数（1）单调函数单调递增：mnf(m)f(n);单调递减：mnf(m)f(n);严格单调递增：mf(n).（2）取整函数x：不大于x的最大整数；x：不小于x的最小整数。取整函数的若干性质x