第二讲函数的连续性讨论.ppt

《第二讲函数的连续性讨论.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、二、连续函数的运算与初等函数的连续性一、函数的连续性与间断点第二讲机动目录上页下页返回结束函数的连续性讨论三、闭区间上连续函数的性质一、函数的连续性与间断点有函数的增量函数在点处有下列等价命题:机动目录上页下页返回结束定义：对自变量的增量1）增量1、函数的连续性可见,函数在点2）函数在一点处的连续定义则称函数(1)在点即(2)极限(3)定义1:在的某邻域内有定义,设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;机动目录上页下页返回结束那么函数y=f(x)在x0处连续也可以叙述为：定义2设函数y=f(x)在x0的一个邻域内有定义，如果则称函数y=f(x)在x0处连续.函数在点

2、处连续有下列等价命题:def2:若函数y=f(x)在点x0处有：则分别称函数y=f(x)在x0处是左连续或右连续.由此可知，函数y=f(x)在x0处连续的充要条件可表示为：即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、右连续．左连续右连续3)左、右连续若函数y=f(x)在开区间I内的各点处均连续，若函数y=f(x)在(a,b)内连续，且在左端点a处右连续，在右端点b处左连续.则称函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续.记为则称该函数在开区间I内连续.4)区间上的连续函数若在定义域内每一点都连续,则称它是连续函数.continue例如,在上连续.有理整式函数又如,有理分式函数在

3、其定义域内连续.只要都有机动目录上页下页返回结束解因为所以f(x)在x=0处连续.在在2、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但1)定义:设在点的某去心邻域内有定义,则下列这样的点不连续:情形之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;机动目录上页下页返回结束2)间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.机动目录上页下页返回结束为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:机动目录上页下页返回结束显然

4、为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.机动目录上页下页返回结束例21.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示:为连续函数.机动目录上页下页返回结束答案:x=1是第一类可去间断点,例3证明函数在x=0处是第一类间断点.因此x=0是该函数的第一类间断点.这类间断点又称为可去间断点.证即该函数在x=0处的左、右极限存在，但是由于1xyOp2p-p-2p因为，如果修改定义f(0)=1，所以，左、右极限存在且相等的间断点称为可移去间断点.在x=0连续.则函数1xyOp2p-p-2p例4确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.机动目录上页

5、下页返回结束1、连续函数的运算法则二、连续函数的运算与初等函数的连续性2、初等函数的连续性机动目录上页下页返回结束定理2.连续单调递增(递减)函数的反函数在其定义域内连续1、连续函数的运算法则定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数递增(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.也连续单调机动目录上页下页返回结束定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.证:设函数于是故复合函数又如,且即机动目录上页下页返回结束例如,是由连续函数链

6、因此在上连续.复合而成,机动目录上页下页返回结束2、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而机动目录上页下页返回结束例1求解:原式例2求解:令则原式说明:当时,有机动目录上页下页返回结束例3求解:原式机动目录上页下页返回结束说明：分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.例4解当x0时，这个表达式由初等函数表示,所以f(x)在x0处是连续的，又得知f(x)在x=0处连续.故函数f(x)在(，)内是连续的.注意:

7、若函数在开区间上连续,结论不一定成立.三、闭区间上连续函数的性质定理1.在闭区间上连续的函数即:设则使大值和最小值.或在闭区间内有间断在该区间上一定有最点,机动目录上页下页返回结束1、最值定理例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,机动目录上页下页返回结束推论.由定理1可知有证:设上有界.2、介值定理定理2.(零点定理)至少有一点且使机动目录上页下页返回结束在闭区间上连续的函数在该区间上有界.定理3.(介值定理)设且则对A与B之间的任一数C,一点证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即使至