2019-2020年高中数学4.1函数与方程名师考点精讲北师大版必修1.doc

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1、2019-2020年高中数学4.1函数与方程名师考点精讲北师大版必修1[读教材·填要点]1．利用函数性质判定方程解的存在(1)函数零点：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，其就是方程f(x)＝0的解．(2)函数零点的判定定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2．利用二分法求方程的近似解(1)二分法：在区间[a，b]上f(x

2、)的图像是一条连续的曲线，且f(a)·f(b)＜0，通过不断地把方程的解所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解，进而得到一个近似解．像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．(2)用二分法求方程近似解的过程(如图)：其中“初始区间”是一个两端函数值异号的区间；“M”的含义：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义：方程解满足要求的精确度．[小问题·大思维]1．函数的零点是一个点吗？提示：不是，是一个使f(x)＝0的x

3、的取值．2．函数的零点、相应方程的根、相应函数图像与x轴交点的横坐标三者之间有何关系？提示：等价关系，函数有几个零点⇔相应方程有几个根⇔相应函数的图像与x轴有几个交点．3．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么在(a，b)上零点的个数是多少？什么情况下在(a，b)上有且只有一个零点？若f(a)f(b)＞0，在区间(a，b)上就没有零点吗？提示：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，当f(a)·f(b)＜0时在(a，b)上一定有零点，但是零点的个数不能确定；当(

4、a，b)是f(x)的单调区间时只有一个零点；当f(a)·f(b)＞0时也不一定没有零点．[研一题][例1]　(1)函数f(x)＝4x－16的零点为________．(2)函数f(x)＝x－的零点的个数是(　　)A．0　　　　　　　　　　B．1C．2D．3(3)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)A．(－2，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，2)(4)已知函数f(x)＝2x－3x2.问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有没有实数解？为什么？[自主解答]　(1)令4x－16＝0，则4x＝42，解得x＝2，所以函

5、数的零点为x＝2.(2)令f(x)＝0，而x－＝0，∴x＝±2，故有两个．(3)由f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，知函数f(x)的零点在区间(0，1)内．(4)∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，又∵函数f(x)＝2x－3x2的图像是连续曲线，∴f(x)在区间[－1，0]内有零点，即f(x)＝0在区间[－1，0]内有实数解．[答案]　(1)2　(2)C　(3)C[悟一法](1)求函数f(x)的零点的方法：令f(x)＝0，解方程f(x)＝0即可．(2)判断函数零点的个数：常用的方法有①解方程法：当能直接求解零点时，就直接求出进

6、行判断．②用定理法：用零点存在性定理并结合函数的单调性．③利用图像的交点法：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图像，其交点的横坐标是函数y＝f(x)－g(x)的零点．(3)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题，当方程f(x)＝0无法解出时，常用函数零点的判定定理：①函数图像的连续性；②区间端点函数值的符号相反．[通一类]1．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为(　　)A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，1]解析：f()·f()＝(＋log2)(＋log2)＝(－2)(－1)＜0.答案：C2．试判断方

7、程x3＝2x在区间[1，2]内是否有实数解．解：设函数f(x)＝x3－2x，则f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝8－4＝4＞0，∴f(1)·f(2)＜0.又函数f(x)＝x3－2x的图像是连续曲线，∴函数f(x)＝x3－2x在区间[1，2]内至少有一个零点，即方程x3＝2x在区间[1，2]内至少有一个实数解．[研一题][例2]　当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0，1)上，另一个根在(1，2)上？[自主解答]　(1)当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．(2)当a＞0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，

8、因为方程的根分别在区间(0，1)，(1，2)上，所以即解得＜a＜1.(3)当a＜0时，设方程的两根为x1，x2，则x1·x2＝＜0，x1，x2一正一负，不符合题意．综上，当＜a＜