2019-2020年高中数学第二章平面向量本章小结新人教A版必修4.doc

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1、2019-2020年高中数学第二章平面向量本章小结新人教A版必修4►专题归纳用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理．►例题分析　例1△ABC中(如图所示)，＝，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线交DE于N，设＝a，＝b，用a，b分别表示向量、、、、、.分析：用向量的加减法和数乘向量运算解答本题．本题是向量加减法和数乘向量的混合运算，在进行计算时要充分利用DE∥BC⇒△ADE∽△ABC，△ADN∽△ABM.解析：⇒＝＝b，＝－＝b－a，由△ADE∽△ABC，得＝＝，由AM是△ABC中线，DE∥BC，∴＝＝，＝＝

2、，由△ADN∽△ABM，＝，得＝＝.►跟踪训练1.在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝(A)A.b＋c　　　　　　　B.c－bC.b－cD.b＋c►专题归纳有关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.►例题分析　例2已知a＝，b＝，若ka＋2b与2a－b平行，求实数k的值．解析：∵ka＋2b＝k＋2＝，2a－b＝2－＝，又ka＋2b与2a－b平行，∴－×5＝0.解得k＝－4.点评：有关向量的共线问题，可以运用“向量b与非零向量a共线⇔存在唯一实数λ使b＝λa”，也可以运用向量共线的坐标表达式“a＝，b＝共线⇔x1y2－x2y1＝0”．►跟

3、踪训练2．已知向量a＝，b＝，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是(D)A．－2　　　　B．0　　　　C．1　　　　D．2解析：方法一　因为a＝，b＝，所以a＋b＝，4b－2a＝，由于a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.方法二　因为a＋b与4b－2a平行，则存在常数λ，使a＋b＝λ(4b－2a)，即a＝b，根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故x＝2.3．已知向量a＝(1，k)，b＝(9，k－6)．若a//b，则实数k＝________．答案：－►专题归纳1．有关向量的垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2．

4、求夹角问题，用夹角公式：cosθ＝＝(θ为a，b的夹角)．►例题分析例3　已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．分析：将已知与所求分别进行语言转化，从中找到联系．由已知垂直得到两式，而由所求夹角可知须有数量积及模的乘积，从而考虑从已知推出的关系．解析：由已知得(a＋3b)·(7a－5b)＝0，(a－4b)·(7a－2b)＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0，7a2－30a·b＋8b2＝0，两式相减得2a·b＝b2，代入其中一式，得＝.∴cosθ＝＝＝，又θ∈，所以θ＝60°.点评：求两向量的夹角，要通过求得a·b及，或它们的关系式

5、．注意两向量的夹角的取值范围是.►跟踪训练4．已知a＝，b＝，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(A)A．－　　　B.　　　C．－　　D.解析：λa＋b＝(－3λ－1，2λ)，a－2b＝(－1，2)，∵(λa＋b)⊥(a－2b)，∴(－3λ－1，2λ)·(－1，2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－，故选A.5．已知

6、a

7、＝1，

8、b

9、＝6，a·＝2，则向量a与向量b的夹角是(C)A.B.C.D.解析：由条件得a·b－a2＝2，∴a·b＝2＋a2＝3⇒cosθ＝3⇒cosθ＝⇒θ＝.6．已知e1，e2是夹角为π的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2,若a·b＝0，则k

10、的值为________．答案：►专题归纳利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)＝a2＝a·a；(2)＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝，则＝.►例题分析例4　(1)已知向量a和b的模都是2，其夹角为60°，又知＝a＋2b，＝－2a＋b，试求P、Q两点间的距离；(2)已知＝4，＝8，a与b的夹角是120°，求及的值．解析：(1)＝－＝－3a－b，＝·＝＝9a2＋6a·b＋b2.∵＝＝2，a·b＝cos60°＝2，∴＝9a2＋6a·b＋b2＝9×4＋6×2＋4＝52.∴＝2.(2)a·b＝cos120°＝4×8×＝－16.＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×

11、＋64＝48，∴＝4，＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×＋4×64＝3×162，∴＝16.点评：通过求向量的平方来求向量的模．►跟踪训练7．平面向量a与b的夹角为60°，a＝，＝1,则＝(B)A.　　　B．2　　　C．4　　　D．12解析：由已知＝2，所以＝a2＋4a·b＋4b2＝12，故＝2.8．已知向量a＝，a·b＝10，＝5，则＝(C)A.B.C．5D．25解析：本题考查平面向量数量积的运算和性质，