北京大学量子力学课件 第11讲.ppt

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1、第十一讲Ⅰ.相干态A.湮灭算符的本征态已证得这类态称为相干态。B.相干态性质：1.在该态中位置和动量满足最小测不准关系于是有2.相干态随时间的演化若处于谐振子势的粒子，在时，处于相干态，则时，体系的波函数为于是有这表明的本征值在为，而在时刻为我们有平均值我们也有平均值所以，其中它随的演化很接近经典谐振子的运动。C.本征值为实的相干态正是受迫振动的基态这时，体系的哈密顿量为于是，我们有其中如令则令它的基态满足而所以即这表明这时所以，是哈密顿量的相干态。Ⅱ.表示力学量算符的性质（1）一般运算规则：一

2、个力学量如以算符表示。它是一运算代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从例：，于是即将体系的几率密度振幅沿x方向移动距离a.A.力学量算符至少是线性算符；量子力学方程是线性齐次方程。由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符。所谓线性算符，即例如1.例如2.对不显含时间的薛定谔方程若，，则量子力学不仅要求力学量算符是线性算符，而且方程是线性齐次，方程就不行。因B.算符之和：表示，对任意波函数进行变换所得的新波函数完全相等，即C.算符之积:表示，对任意波函数，有，则D.逆算符：算符将任一波函

3、数若有另一算符使则称为的逆算符，并表为，显然，E.算符的函数：设：在x=0处，有各级导数则定义算符的函数例如:它有各级导数，。于是如果函数不能以幂级数表示，则还有算符函数的自然展开。（2）算符的对易性一般而言，两算符的乘积和次序有关，不能彼此对易。若,，则所以算符引入对易子：和的对易子对易子有如下性质并有证：成立设：n-1成立，即例：求在算符的运算时，要特别小心。例：如和对易，可证明所以下面是一些有用的对易关系称为Levi-Civita符号。取值，为从123→ijk的对换数。如123→312的对

4、换数2例：用上述关系可证：例：对易关系是与坐标选择无关例：而另外，对易关系与表象选择无关如（3）算符的厄密性（Hermiticity）A.算符复共轭：若对波函数（任意）有则称为的复共轭算符，以表示例所以算符的复共轭就是将算符所有复数量取复共轭。显然，B.算符的转置1.标积定义：若体系有两个波函数，其标积为显然，对于标积，有性质☆☆☆☆则称这两波函数正交。2．转置定义：算符称为算符的转置算符即通常以算符表示算符的转置算符。即或例：C.算符的厄密共轭定义：算符的厄密共轭是该算符取复共轭，再转置，（以

5、表示），例可证D.厄密算符:若算符的厄密共轭就是它自身，则称该算符为厄密算符。E.厄密算符的性质1.厄密算符相加，减仍是厄密算符；但厄密算符之积并不一定为厄密算符。2.任何状态下，厄密算符的平均值必为实数3.在任何状态下，平均值为实的线性算符必为厄密算符。令,()线性（1）实数（2）两式相减得由于取任意值，该式都成立，因此该式成立仅当，即由于是任意的，所以是厄密算符。易证：若是厄密算符，则。§4.2厄密算符的本征值和本征函数（1）算符的本征方程如对大量完全相同的体系作完全相同的测量，可以发现，测

6、得A1，A2，A3…等各有一定的几率。而对有一定几率分布（围绕最大几率测量值）的状态，进行一次测量，其偏差大小可由一“涨落”来定义，即由方均根来定义。要使“涨落”为零，即测量值只取确定值，则令这一特殊状态为我们称上述方程为算符的本征方程。显然，仅当体系处于本征态所描述的状态时，测量值才是唯一的，即为相应的本征值（这时“涨落”为0）。就是体系的能量本征方程。量子力学第三个基本假设：在量子力学中，一个直接可观测的力学量，对应于一个线性厄密算符；当对体系进行该力学量的测量时，一切可能测得值，只能是算符

7、的本征方程的本征值。例1：求轨道角动量在z方向分量的本征值和本征函数。有解由于得要求是厄密算符（保证本征值为实数）例2求绕固定轴转子的能量本征值和本征函数。绕固定轴转子的能量本征方程所以固定转子的能量本征值和本征函数为（2）力学量算符的本征值和本征函数性质A.力学量的每一可取值都是实数（即本征值）；B.相应不同本征值的本征函数是正交的证：