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《微积分学基本定理 定积分计算(续)110310.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§9.5微积分学基本定理·定积分计算(续)一、变限积分与原函数的存在性二、换元积分法与分部积分法本节将介绍微积分学基本定理,并用以证明连续函数存在原函数.在此基础上又可导出定积分的换元积分法与分部积分法.三、泰勒公式的积分型余项(略)1第九章第5节一、变限积分与原函数的存在性定义若f在[a,b]上可积,则对任意x∈[a,b]，f在[a,x]上可积.称为变上限的定积分，(下)统称变限积分.注:1.变上(下)限的定积分是x的函数，又称积分上(下)限函数，2.注意区分：tyOx3.变上限与变下限可互化：应避免混淆上(下)限与积分变量.2第九章第5节定理若f在[a,b]上可积,则在[a,
2、b]上连续.再由x的任意性，定理得证.∴证:考虑x的增量就有只要由f在[a,b]上可积知其有界：故即在点x连续.3第九章第5节定理若f在[a,b]上连续,则在[a,b]上处处可导,再由x的任意性，定理得证.证:考虑x的增量就有由f在[a,b]上连续可知：即在点x可导.且(原函数存在定理、微积分基本定理)只要且4第九章第5节注1.本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系、证明了“连续函数必有原函数”的结论、由定理可知：若f为连续函数，则其任一原函数F必为并以变限积分的形式给出了f的一个原函数.代入x=a得C=F(a)，即再代入x=b即得N-L公式：注2.定理若f在[a,b]上连续,则
3、在[a,b]上处处可导,且(原函数存在定理、微积分基本定理)5第九章第5节对于变下限定积分以及变限复合函数，还有注3.定理若f在[a,b]上连续,则在[a,b]上处处可导,且(原函数存在定理、微积分基本定理)6第九章第5节例.计算下列导数：(1)=.(2)=.(3)=.7第九章第5节定理设f在[a,b]上可积,(积分第二中值定理)(1)若函数g在[a,b]上单调减且非负，则存在使(2)若函数g在[a,b]上单调增且非负，则存在使(3)若函数g在[a,b]上单调，则存在使8第九章第5节二、换元积分法则定理若f在[a,b]上连续,在上连续可微，且满足证:设F(x)为f(x)的一个原函
4、数，则由复合函数求导法则知：∴注：1.对定积分使用换元法时无需将最后结果代换回x.由牛顿-莱布尼兹公式，有：(1)2.若应用换元法时改变了积分变量，则应注意变限.9第九章第5节例1.求解:令∴当t由0变到时，x由0变到1.10第九章第5节练习.求解:令当x由0变到4时，t由1变到3.且∴11第九章第5节例2.解:原式运用了定积分换元法，但未引入新变量12第九章第5节定理若u(x),v(x)是[a,b]上的连续可微函数，则证:(2)二、分部积分法由乘积求导法则知：上式两端求[a,b]区间上的定积分，得：∴注：(2)式可简记为13第九章第5节例3.解:练习.14第九章第5节例4.解:
5、∴（n为非负整数）15第九章第5节其中16第九章第5节例5.指出下列定积分计算中的错误：该变换在[0,2π]中的x=π处无定义！运用分部积分法，此处应为(1)矛盾！(2)17第九章第5节
