2019年高中数学第5章推理与证明5.2直接证明与间接证明5.2.1直接证明：分析法与综合法讲义含解析湘教版选修1-2.doc

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1、5．2.1　直接证明：分析法与综合法[读教材·填要点]综合法和分析法综合法分析法定义从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求的问题，称为综合法从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件，称为分析法特点从“已知”看“可知”，由因导果，寻找必要条件从“未知”看“需知”，执果索因，寻找充分条件[小问题·大思维]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑

2、推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．综合法的应用已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.[自主解答]　法一：∵a，b∈R＋且a＋b＝1，∴a＋b≥2.∴≤.∴＋＝＝≥4.当且仅当a＝b＝时，取“＝”号．法二：∵a，b∈R＋，∴a＋b≥2＞0，＋≥2＞0.∴(a＋b)≥4.又因为a＋b＝1，∴＋≥4.当且仅当a＝

3、b＝时，取“＝”号．法三：∵a，b∈R＋，且a＋b＝1，∴＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时，取“＝”号．保持例题条件不变，求证：＋≥9.证明：法一：∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1.∴＋＝＋＝4＋＋＋1≥5＋2＝5＋4＝9.当且仅当＝，即a＝2b＝时等号成立．法二：∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1.∴＋＝(a＋b)·＝4＋＋＋1≥5＋2＝5＋4＝9.当且仅当＝，即a＝2b＝时等号成立．综合法证明问题的步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．(

4、2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．1．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2＝b(b＋c)，求证：A＝2B.证明：∵a2＝b(b＋c)，∴cosA＝＝＝，cos2B＝2cos2B－1＝22－1＝22－1＝＝，∴cosA＝cos2B.又A，B是三角形的内角，∴A＝2B.分析法的应用当a＋b>0时，求证：≥(a＋b)．[自主解答]　要证≥(a＋b)，只需证()2≥2，即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)

5、，即证a2＋b2≥2ab.因为a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，所以≥(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证…，只需证…，即证…，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．2．已知a>6，求证：－<－.证明：法一：要证－<－，只需证＋<＋⇐(＋)2<(＋)2⇐2a－9＋2<2a－9＋2⇐<⇐(a－3)(a－6)<(a－5)(a－4)⇐18<

6、20，因为18<20显然成立，所以原不等式－<－成立．法二：要证－<－，只需证<，只需证＋>＋.∵a>6，∴a－3>0，a－4>0，a－5>0，a－6>0.又∵a－3>a－5，∴>，同理有>，则＋>＋.∴－<－.综合法与分析法的综合应用已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.[自主解答]　法一：要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，只需证＋＝，即证＋＝3，化简，得＋＝1，即c(b

7、＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)．所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°，所以cosB＝＝.所以a2＋c2－b2＝ac，所以原式成立．法二：因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°，所以c2＋a2＝ac＋b2.两边加ab＋bc，得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得＋＝1，所以＋＝3.即＋＝.所以(a＋b)－1＋(b＋

8、c)－1＝3(a＋b＋c)－1.综合法与分析法的适用范围(1)综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．(2)分析法适用的范围：已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题．3．(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy；(2)设1