江苏专用2019高考数学二轮复习专题五第3讲导数与函数的切线及函数零点问题学案理.doc

《江苏专用2019高考数学二轮复习专题五第3讲导数与函数的切线及函数零点问题学案理.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3讲　导数与函数的切线及函数零点问题高考定位　高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)在高考试题导数压轴题中涉及函数的零点问题是高考命题的另一热点.真题感悟(2016·江苏卷)已知函数f(x)＝ax＋bx(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1).(1)设a＝2，b＝.①求方程f(x)＝2的根；②若对任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值；(2)若0＜a＜1，b＞1，函数g(x)＝f(

2、x)－2有且只有1个零点，求ab的值.解　(1)①由已知可得2x＋＝2，即2x＋＝2.∴(2x)2－2·2x＋1＝0，解得2x＝1，∴x＝0.②f(x)＝2x＋＝2x＋2－x，令t＝2x＋2－x，则t≥2.又f(2x)＝22x＋2－2x＝t2－2，故f(2x)≥mf(x)－6可化为t2－2≥mt－6，即m≤t＋，又t≥2，t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时等号成立)，∴m≤＝4，即m的最大值为4.(2)∵0＜a＜1，b＞1，∴lna＜0，lnb＞0.g(x)＝f(x)－2＝ax＋bx－2，g′(x)＝axlna＋bxlnb且g

3、′(x)为单调递增，值域为R的函数.∴g′(x)一定存在唯一的变号零点，∴g(x)为先减后增且有唯一极值点.由题意g(x)有且仅有一个零点，则g(x)的极值一定为0，而g(0)＝a0＋b0－2＝0，故极值点为0.∴g′(0)＝0，即lna＋lnb＝0，∴ab＝1.考点整合1.求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0

4、)解得x0，再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.2.三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：a的符号零点个数充要条件a＞0(f(x1)为极大值，f(x2)

5、为极小值)一个f(x1)＜0或f(x2)>0两个f(x1)＝0或f(x2)＝0三个f(x1)＞0且f(x2)＜0a＜0(f(x1)为极小值，f(x2)为极大值)一个f(x2)＜0或f(x1)>0两个f(x1)＝0或f(x2)＝0三个f(x1)＜0且f(x2)＞03.(1)研究函数零点问题或方程根问题的思路和方法研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的图象，如单调性、值域、与x轴的交点等，其常用解法如下：①转化为形如f(x1)·f(x2)＜0的不等式：若y＝f(x)满足f(a)f(b)＜0，则f(x)

6、在(a，b)内至少有一个零点；②转化为求函数的值域：零点及两函数的交点问题即是方程g(x)＝0有解问题，将方程分离参数后(a＝f(x))转化为求y＝f(x)的值域问题；③数形结合：将问题转化为y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，利用函数图象位置关系解决问题.(2)研究两条曲线的交点个数的基本方法①数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案.②函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数.热点一　函数图象的切线问题【例1】(1)(2018·徐州期末)已知函数f(x)＝x－1＋，若直线l

7、：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，则实数k＝________.解析　设切点为(x0，y0).因为f′(x)＝1－，则f′(x0)＝k，即1－＝k且kx0－1＝x0－1＋，所以x0＝－1，所以k＝1－＝1－e.答案　1－e(2)已知函数f(x)＝2x3－3x.①求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；②若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围.解　①由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3.令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.因为f(－2)＝－10，f＝，f＝－，f(1)＝－1，所以f(

8、x)在区间[－2，1]上的最大值为f＝.②设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，因此t－y0＝(6x－3)(1－x0)，整理得4x－6x＋t＋3＝0.设g(x)＝4x3－6x2＋