线性代数课件--03 矩阵及其运算.ppt

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1、《线性代数》电子教案之三1主要内容第三讲矩阵及其运算矩阵的概念；零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等特殊矩阵；矩阵的线性运算（矩阵的加法及矩阵与数的乘法）、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式以及他们的运算规律.基本要求理解矩阵的概念，知道零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等特殊矩阵；熟练掌握矩阵的运算及其运算规律.2一、矩阵的定义与记号第一节矩阵1.定义由个数排成的行列的数表称为行列矩阵，简称矩阵.为表示这个数表是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作3这个数称为矩阵的元素，简称为元，数位于矩阵

2、的第行第列，称为矩阵的元.以数为元的矩阵可简记作或.矩阵也记作注意（1）矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号（在数表外加上双竖线）是不同的，这是两个不同的概念，注意区别.（2）矩阵的行数和列数不一定相等.42.有关概念实矩阵与复矩阵：元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵；除特别说明外，都指实矩阵.行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵，记作列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵，记作矩阵矩阵5方阵：行数与列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵.阶矩阵也记作同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型

3、矩阵.矩阵相等：如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即那么就称矩阵与矩阵相等，记作6二、矩阵举例例2某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵其中为工厂向第店发送第种产品的数量.这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵其中为第种产品的单价，为第种产品单件重量.说明从两个矩阵可以清楚看出这个厂的产品的信息.7例3四个城市间的单向航线如下图所示，1234若令则这个图可以用矩阵表示为说明用矩阵表示这个图后，就可以用计算机对这个图进行分析和计算.8例4个变量与个变量之间的关系式称为从变量到变量的线性变换.线性变换的系数构成矩阵

4、称为线性变换的系数矩阵，线性变换与矩阵是一一对应的.9三、几个特殊矩阵单位矩阵（单位阵）：从左上角到右下角的直线单位矩阵对应线性变换为恒等变换（叫做（主）对角线）上的元素都是1，其它元素都是0，这种矩阵称为单位矩阵，简称单位阵，用表示，即10对角矩阵：对角矩阵对应的线性变换为不在对角线上的元素都是0.这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵，用表示，即11零矩阵：元素都是零的矩阵，记作0.注意不同型的零矩阵是不同的，例如12数量矩阵（纯量矩阵）：不在对角线上的元素都是0，对角线上的元素相同，这种矩阵称为数量矩阵，又称纯量矩阵，用表

5、示，即13四、小结在线性代数里，矩阵是一个主要工具，也是一个主要的研究对象.1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的概念矩阵的应用十分广泛：自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别，以及计算机层析X射线照相术等方面，都有广泛的应用1858年卡莱（A.Cayley）建立了矩阵运算规则14西尔维斯特（Sylvester,1814-1897），他是犹太人，故他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841

6、年起他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记官和律师。经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大学的教授，并于1884年70岁时重返英格兰成为牛津大学的教授。他开创了美国纯数学研究，并创办了《美国数学杂志》。在长达50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不渝的作者之一。15卡莱（Cayley1821-1895）生于一个古老而有才能的英国家庭，在学校中他就显示了数学才能.他的老师说服他的父亲送他到剑桥，而不要让他做家务.在剑桥它是数学荣誉会考的一等第一名，并获得Smith奖，他当选为剑桥的三一学院的研究员和助理导师，但3年后由于

7、必须担任圣职而离开。他转向法律并在这个职业上花费了后来的15年.这期间他用了大量的时间搞数学，并发表了近200篇文章.也是在这时，他和Sylvester开始了长期的友谊和合作.1863年，他被任命为剑桥新创立的Sadler数学教授。除去1882年受Sylvester的聘请在霍普金斯大学以外，他一直在剑桥，直到逝世．16一、矩阵的加减法第二节矩阵的运算1.定义两个同为的矩阵相加（减）后得一矩阵，其元素为两矩阵对应元素的和（差）.特别注意只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加（减）法.17例如182.矩阵的加减法_运算

8、规则交换律：结合律：设矩阵记称为矩阵的负矩阵.19二、矩阵与数的乘法（矩阵的数乘）1.定义阶矩阵与一个数相乘后得一矩阵，其元素为原矩阵对应元素乘以这个数.记作说明矩阵的负矩阵；纯量矩阵.20例如212.矩阵的数乘_运算规则说明矩阵的加法与矩阵的数乘合起来，统称为矩阵的线性运算.22三、矩阵与矩阵的乘法（