2019届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第八节第三课时定点定值探索性问题课时作业.doc

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1、第八节第三课时定点、定值、探索性问题课时作业A组——基础对点练1．已知动点C到点F(1,0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，动点C的轨迹为E.(1)求曲线E的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(km<0)与曲线E相交于A，B两个不同点，且·＝5，证明：直线l经过一个定点．解析：(1)由题意可得动点C到点F(1,0)的距离等于到直线x＝－1的距离，∴曲线E是以点(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，设其方程为y2＝2px(p>0)，∴＝1，∴p＝2，∴动点C的轨迹E的方程为y2＝4x.(2)设A

2、(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，∴x1＋x2＝，x1·x2＝.∵·＝5，∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝5，∴m2＋4km－5k2＝0，∴m＝k或m＝－5k.∵km<0，∴m＝k舍去，∴m＝－5k，满足Δ＝16(1－km)>0，∴直线l的方程为y＝k(x－5)，∴直线l必经过定点(5,0)．2．(2018·昆明市检测)已知点A，B的坐标分别为(－，0)，(，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，点M的轨迹

3、为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过点F(1,0)作直线l交曲线E于P，Q两点，交y轴于R点，若＝λ1，＝λ2，证明：λ1＋λ2为定值．解析：(1)设点M(x，y)，由已知得·＝－(x≠±)，化简得曲线E的方程：＋y2＝1(x≠±)．(2)证明：设点P，Q，R的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(0，y0)．由＝λ1，得(x1，y1－y0)＝λ1(1－x1，－y1)，所以x1＝，y1＝，因为点P在曲线E上，所以()2＋()2＝1，化简得λ＋4λ1＋2－2y＝0　①，同理，由＝λ2，可得

4、x2＝，y2＝，代入曲线E的方程化简得λ＋4λ2＋2－2y＝0　②，由①②可知λ1，λ2是方程x2＋4x＋2－2y＝0的两个实数根(Δ>0)，所以λ1＋λ2＝－4，即λ1＋λ2为定值．3．在平面直角坐标系中，已知点A(－，0)，B(，0)，直线MA，MB交于点M，它们的斜率之积为常数m(m≠0)，且△MAB的面积最大值为，设动点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过曲线E外一点Q作E的两条切线l1，l2，若它们的斜率之积为－1，那么·是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由．解析：(1

5、)设M(x，y)，则由已知得·＝m，即y2＝m(x2－3)，即－＝1(x≠±)．(*)①当m>0时，方程(*)表示双曲线，此时△MAB面积不存在最大值(不符合)；②当m＝－1时，方程(*)表示圆，此时△MAB的面积最大值为3(不符合)；③当m<0且m≠－1时，方程(*)为椭圆，此时△MAB的面积最大值为，所以m＝－.此时所求的方程为＋y2＝1(x≠±)．(2)设Q(x0，y0)，过点Q的切线l为y＝k(x－x0)＋y0，由消去y得(1＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3(y0－kx0)2－3＝0，

6、则Δ＝36k2(y0－kx0)2－4(1＋3k)2·3[(y－kx0)2－1]＝0，化简得(3－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0，于是k1·k2＝，由已知斜率之积为－1，则＝－1，则x＋y＝4(x0≠±)，所以

7、OQ

8、＝2，于是·＝[(2)2－2]＝1.4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，离心率为，点P为其上一动点，且三角形PF1F2的面积最大值为，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使·＝m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值．解

9、析：(1)依题意知解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝m，当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋n，则点O到直线MN的距离d＝＝，联立，得消去y，得(4k2＋3)x2＋8knx＋4n2－12＝0，由Δ>0得4k2－n2＋3>0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以x1x2＋(kx1＋n)(kx2＋n)＝(k2＋1)x1x2＋kn(x1＋x2)＋n2＝m，整理得＝12＋.因为d＝为常数，则m＝0，d＝＝，此时＝12满足Δ>0.当MN⊥x轴时，由

10、m＝0得kOM＝±1，联立，得消去y，得x2＝，点O到直线MN的距离d＝

11、x

12、＝亦成立．综上，当m＝0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是.B组——能力提升练1．如图，已知直线l：y＝kx＋1(k>0)关于直线y＝x＋1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：＋y2＝1分别交于点A，M和A，N，记直线l1的斜率为k1.(1)求k·k1的值；(2)当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由