2018-2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式学案新人教A版选修4-5.doc

《2018-2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式学案新人教A版选修4-5.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、三　排序不等式　1.了解排序不等式的数学思想和背景．　2.了解排序不等式的结构与基本原理．　3.理解排序不等式的简单应用．,　　　　　　　　[学生用书P47])1．顺序和、乱序和、反序和的概念设有两个有序实数组：a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任意一个排列．(1)顺序和：a1b1＋a2b2＋…＋anbn．(2)乱序和：a1c1＋a2c2＋…＋ancn．(3)反序和：a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1．2．排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，

2、cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)顺序和、反序和、乱序和的大小关系是“乱序和≤反序和≤顺序和”．(　　)(2)排序不等式a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，取等号的条件是a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.(　　)(3)排序不等式也可以理解为两实数序

3、列同向单调时，所得两两乘积之和最小；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最大．(　　)(4)使用排序不等式，关键是出现有大小顺序的两列数(或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．已知a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小关系是(　　)A．a3＋b3＋c3＞a2b＋b2c＋c2aB．a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2aC．a3＋b3＋c3＜a2b＋b2c＋c2aD．a3＋b3＋c3≤a2b＋b2c＋c2a答案：B3．若a＜b＜c，x＜y＜z，则下列各式中值最大

4、的一个是(　　)A．ax＋cy＋bzB．bx＋ay＋czC．bx＋cy＋azD．ax＋by＋cz答案：D4．设两组数1，2，3，4和4，5，6，7的顺序和为A，反序和为B，则A＝________，B＝________．解析：A＝1×4＋2×5＋3×6＋4×7＝4＋10＋18＋28＝60.B＝1×7＋2×6＋3×5＋4×4＝7＋12＋15＋16＝50.答案：60　50　利用排序不等式求最值[学生用书P47]　设a1，a2，a3为正整数，且各不相等，求a1＋＋的取值范围．【解】　设a1，a2，a3按从小到大排成一列为b1，b2，b3，则有b1＜b2＜b3，所

5、以b1≥1，b2≥2，b3≥3.又＜＜，所以由乱序和≥反序和，且a1，a2，a3各不相等，得a1＋＋＞＋＋b1≥＋＋1＝，所以a1＋＋的取值范围是.利用排序原理求最值的方法技巧求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理适当构造出一个或二个乱序和从而求出其最小(大)值．　　1.已知两组数1，2，3和45，25，30，若c1，c2，c3是45，25，30的一个排列，则1c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．解析：最大值为顺序和1×25＋2×30＋3×45＝220.最小值为反序

6、和1×45＋2×30＋3×25＝180.答案：220　1802．设a，b，c为任意正数，求＋＋的最小值．解：不妨设a≥b≥c，则a＋b≥a＋c≥b＋c，≥≥，由排序不等式得，＋＋≥＋＋，＋＋≥＋＋，上述两式相加得：2≥3，即＋＋≥.当且仅当a＝b＝c时，＋＋取最小值.　利用排序不等式证明不等式[学生用书P48]　已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：(1)≥≥；(2)＋＋≥＋＋.【证明】　(1)因为a≥b＞0，所以≤.又c＞0，所以＞0，从而≥.因为b≥c＞0，所以≤.因为a＞0，所以＞0，所以≥.从而≥≥.(2)由(1)知≥≥，根据顺序和≥乱序和≥反

7、序和，得：＋＋≥＋＋＝＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋.故＋＋≥＋＋.利用排序不等式证明不等式的策略(1)利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和．利用排序不等式证明即可．(2)在排序不等式的条件中，需要限定各数值的大小关系，对于它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们要根据各字母在不等式中的地位的对称性将它们按一定顺序排列起来，进而用不等关系来解题．　　设a，b，c∈R＋利用排序不等式证明：a3＋b3＋c3≤＋＋.证明：不妨设0＜a≤b≤c，则a5≤b5≤c5，≤≤，所以由排序不等式可得a

8、3＋b3＋c3＝＋＋≤＋＋，a3＋b3＋c3＝＋＋≤＋＋，所以a3＋b3＋c3≤