2020版高考数学第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案.docx

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1、第三节　平面向量的数量积与平面向量应用举例[考纲传真]　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b

6、投影

7、a

8、cosθ叫做向量a在b方向上的投影，

9、b

10、cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度

11、a

12、与b在a的方向上的投影

13、b

14、cosθ的乘积3.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模

15、a

16、＝

17、a

18、＝数量积a·b＝

19、a

20、

21、b

22、cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝cosθ＝a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0

23、a

24、·b

25、与

26、a

27、

28、b

29、的关系

30、a·b

31、≤

32、a

33、

34、b

35、

36、x1x2＋y1y2

37、≤·[常用结论]1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．(　　)(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)(4)(a·b

38、)c＝a(b·c)．(　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×2．(教材改编)已知

39、a

40、＝6，

41、b

42、＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为(　　)A．12　　B．8　　C．－8　　D．2A　[∵a·b＝

43、a

44、

45、b

46、cos〈a，b〉＝

47、b

48、

49、a

50、cos〈a，b〉＝3×4＝12.]3．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)A．－8B．－6C．6D．8D　[∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)，∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得(a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8.]4．已知a，b是平面向量，如果

51、a

52、＝3，

53、

54、b

55、＝4，

56、a＋b

57、＝2，那么

58、a－b

59、＝(　　)A.B．7C．5D.A　[∵

60、a

61、＝3，

62、b

63、＝4，

64、a＋b

65、＝2，∴a2＋b2＋2a·b＝4，即2a·b＝－21.∴

66、a－b

67、＝＝＝.]5．已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________．　[由题意得

68、a

69、＝＝2，

70、b

71、＝＝2，a·b＝1×＋×1＝2.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝.]平面向量数量积的运算1．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是(　　)A．－3　　　B．－　　　C．3　　　D.A　[依题意得，＝(－2，－1)，

72、＝(5,5)，·＝－15，

73、

74、＝，因此向量在方向上的投影是＝＝－3，故选A.]2．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·＝(　　)A．16B．12C．8D．－4A　[建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)．设E(0，b)，因为AE⊥BD，所以·＝0，即(－4，b)·(2,3)＝0，所以b＝，所以E，＝，所以·＝16，故选A.]3．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝2BE，CD＝λCF.若·＝－9，则λ的值为(　　)A．2B．3C．4D．5B

75、　[依题意得＝＋＝－，＝＋，因此·＝·＝2－2＋·，于是有×62＋×62×cos60°＝－9，由此解得λ＝3，故选B.][规律方法]　1.向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝

76、a

77、

78、b

79、cos〈a，b〉；(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.2.解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造