复变函数与积分变换4.2泰勒级数.ppt

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1、§3泰勒级数定理(泰勒展开定理)设f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,d为z0到D的边界上各点的最短距离,则当

2、z-z0

3、

4、z-z0

5、=r为D内以z0为中心的任何一个圆周,把它记作K,它与它的内部全含于D,又设z为K内任一点.z0Kzrz按柯西积分公式,有且z0Kzrz由解析函数高阶导数公式,上式可写成圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内.所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(z)在z0的泰勒展开式在圆域

6、z-z0

7、

8、是泰勒级数.利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数:把f(z)在z0展开成幂级数,这被称作直接展开法。如例如,求ez在z=0处的泰勒展开式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)

9、z=0=1(n=0,1,2,...)，故有因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为+.同样,可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法.例如sinz在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:[解

10、]由于函数有一奇点z=-1,而在

11、z

12、<1内处处解析,所以可在

13、z

14、<1内展开成z的幂级数.因为例1把函数展开成z的幂级数.例2求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.[解]ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在

15、z

16、<1展开为z的幂级数.-1OR=1xy注：而如果把函数中的x换成z,在复平面内来看函数1-z2+z4-…它有两个奇点i,而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上,所以这个级数的收敛半径只能等于1.因此,即使我们只关心z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制.在实变函数

17、中有些不易理解的问题,一到复变函数中就成为显然的事情,例如在实数范围内,展开式的成立必须受

18、x

19、<1的限制,这一点往往使人难以理解,因为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的.