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1、7.3循环群与置换群一、循环群定义7.3.1设(G,◦)是一个群，H⊆G,若G的元素均可由H中的若干元素经过有限次的二元运算◦而得到，则称子集H生成群(G,◦)，并将生成群的子集中最小的称为群(G,◦)的生成元集。注意：生成元集不一定唯一！其最小性是相对于集合的基数而言。定义7.3.2若群(G,◦)的生成元集为{g}，则称G为循环群，g称为G的生成元，并记G=。同半群时的讨论类似，G={gk
2、k∈Z}(其中可能有相同的元素)循环群是可交换的。例7.3.1整数加群(Z,+)是一个循环群，其生成元为1或-1，即Z=<1>或Z=<-1>。例7.3.2模n的剩余类加群(
3、Zn,+n)是一个循环群。[p]n∈Zn是Zn的一个生成元当且仅当p与n互素。注意：做为群的生成元集与半群的生成元集之间的差异！定理7.3.1循环群(G,◦)的阶=G的生成元g的阶。证.设群G的阶=m,G的生成元g的阶=n。分二种情形：①n<∞，在G={gk
4、k∈Z}中,gs=gt⇔s≡t(modn).∵若gs=gt，即gs-t=e，则s-t=nq。反之，若s-t=nq，则gs=gnq+t=gt。因此G={g0,g,g2,···,gn-1}，故m=n；②n=∞，在G={gk
5、k∈Z}中，假若gs=gt，则有gs-t=e因此G没有相同的元素，故G的阶m=∞。循环群是交换
6、群。若(G,◦)为循环群，g为G的生成元，则G的结构在同构的意义下完全由g的阶所确定：（1）若g的阶=n，则(G,◦)≅(Zn,+n)；（2）若g的阶=∞，则(G,◦)≅(Z,+)。例如：(AF,∘)≅(Z3,+3)证.（1）注意到，在G={gk
7、k∈Z}中,gs=gt⇔s≡t(modn)。作映射f:G→Zn,f(gk)=[k]n，则f是双射。又f(gs◦gt)=f(gs+t)=[s+t]n=[s]n+n[t]n即f是同构，故(G,◦)≅(Zn,+n)。（2）作映射f:G→Z,f(gk)=k，则f是同构，故(G,◦)≅(Z,+)。二、置换群定义7.3.3设S为集合，称
8、映射τ:S→S为S上的一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。定理7.3.2设G为集合S上全体变换的集合，则(G,∘)是一个含幺元e的半群，其中运算∘是复合运算，e为S上的恒等变换。定理7.3.2设T(S)为集合S上所有的双射变换，则(T(S),◦)是一个群。设S上的若干个双射变换组成的集合G关于◦构成一个群，则称G为S上的一个变换群。集合S上双射变换的集合G关于◦构成一个群的充要条件是下面二个条件成立：（1）G关于运算◦是封闭的，（2）对∀g∈G，必有g-1∈G。例.(GF,∘)和(AF,∘)都是平面上的变换群。例7.3.4在已建立平面直角坐标系的平面上，用σp
9、表示平移：σp(Q)=Q+P；用τθ表示绕坐标原点的旋转。一般地，σp∘τθ≠τθ∘σp。比如取P=(0,1)，θ=½π，则有：故平面上全体一一变换构成的变换群不是交换群。定理7.3.3任意一个群都同构于一个变换群。证.设(G,∗)是群，g∈G。定义变换Tg:G→G,a→g∗a。[压缩或平移变换]下面证明(T(G),◦)是群，其中T(G)={Tg
10、g∈G}：若Tg(a)=Tg(b),则g∗a=g∗b,由消去律得a=b,Tg是单射;对∀c∈G,有d=g-1∗c∈G，满足Tg(d)=c，Tg是满射。又Tg◦Th(a)=Tg(Th(a))=Tg(h∗a)=g∗h∗a=Tg∗
11、h(a)∈T(G),而Tg◦Tg-1(a)=g∗g-1∗a=a=g-1∗g∗a=Tg-1◦Tg(a),即Tg-1=Tg-1.综合上述结论可知：(T(G),◦)是一个变换群。再证明(G,∗)≅(T(G),◦)作映射f:G→T(G),g→Tg显然f是一个满射,若Tg=Th，则Tg(a)=Th(a)，即g∗a=h∗a，由消去律得g=h，故f是单射。而Tg∗h(a)=(g∗h)∗a=Tg◦Th(a),故f(g∗h)=Tg∗h=Tg◦Th，即f保持运算。综上所述知：(G,∗)≅(T(G),◦)定义7.3.4设S为含n个元素的有限集合，σ是S上的一个双射，则称σ是S上的一个n元置
12、换。S上的若干个置换关于运算◦构成的群，称为n元置换群；S上的全体置换构成的群，称为n次对称群，记为Snn次对称群的阶是n!。设有限集合S={a1,a2,⋅⋅⋅,an}上一个置换，σ:S→S,ai→aj(i=1,2,⋅⋅⋅)则置换τ完全由有序整数对(1,j1),(2,j2),,⋅⋅⋅,(n,jn)所决定，于是可以将置换表示为：通常用第一种方式表示置换，等价于将置换看作:σ:i→j,(i=1,2,⋅⋅⋅)或例7.3.5设有限集合S={a1,a2,a3}，则S上的每一个置换可以用六种不同的方式来表示。比如，τ:a1→a2,a2→a3,a3→a1,可以表示
