广西2020版高考数学一轮复习高考大题专项练五高考中的解析几何文.docx

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1、高考大题专项练五　高考中的解析几何1.设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.(2)由y=x24,得y'=x2.设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(

2、2,2+m),

3、MN

4、=

5、m+1

6、.将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2m+1.从而

7、AB

8、=2

9、x1-x2

10、=42(m+1).由题设知

11、AB

12、=2

13、MN

14、,即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.2.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足

15、MA+MB

16、=OM·(OA+OB)+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2

17、,点P的坐标是(0,-1),l与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的面积之比.解(1)MA=(-2-x,1-y),MB=(2-x,1-y),OM=(x,y),OA+OB=(0,2),∵

18、MA+MB

19、=OM·(OA+OB)+2,∴4x2+4(1-y)2=2y+2,∴x2=4y.∴曲线C的方程为x2=4y.(2)设Qx0,x024,则S△QAB=21-x024,∵y=x24,∴y'=12x,∴kl=12x0,∴切线l的方程为y-x024=12x0(x-x0)与y轴交点M0,-x024,

20、PM

21、=1-x024.直线PA的方程

22、为y=-x-1,直线PB的方程为y=x-1,由y=-x-1,y=12x0x-x024,得xD=x0-22,由y=x-1,y=12x0x-x024,得xE=x0+22,∴S△PDE=12

23、xD-xE

24、·

25、PM

26、=1-x024,∴△QAB与△PDE的面积之比为2.3.(2018全国Ⅰ,文20)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.(1)解当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).

27、所以直线BM的方程为y=12x+1或y=-12x-1.(2)证明当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.由y=k(x-2),y2=2x得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=2k,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2).①将x1=y1k+2,x2=y2k+2及y1+y2,y1y2的表

28、达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2y1y2+4k(y1+y2)k=-8+8k=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.4.已知中心在原点O,左焦点为F1(-1,0)的椭圆C的左顶点为A,上顶点为B,F1到直线AB的距离为77

29、OB

30、.(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C1的方程为x2m2+y2n2=1(m>n>0),椭圆C2的方程为x2m2+y2n2=λ(λ>0,且λ≠1),则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆.如图,已知C2是椭圆C的3倍

31、相似椭圆,若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M,N,试求弦长

32、MN

33、的取值范围.解(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),∴直线AB的方程为x-a+yb=1.∴F1(-1,0)到直线AB的距离d=

34、b-ab

35、a2+b2=77b,a2+b2=7(a-1)2.又b2=a2-1,解得a=2,b=3,故椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为x212+y29=1,①若切线l垂直于x轴,则其方程为x=±2,易求得

36、MN

37、=26.②若切线l不垂直于x轴,可设其方程为y=kx+b,将y=k

38、x+b代入椭圆C的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0,∴Δ=(8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2+3-b2)=0,即b2=4k2+3,(*)设M,N两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y