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1、实变函数考试重点题目第一章：求极限Eg：求的上下极限下极限上极限P24页第5题5、设是上全体实函数所构成的集合,.证明：(1)设为的示性函数,,,显然,于是；(2)设,,,显然,于是,总之,.P30页定理1定理2P35页第212题2.设一元实函数,是开集,是闭集.证明：(1),取,因,那么对于,,时,,即,从而,所以是开集.(2),互异点列,显然,因,有,即,于是,所以所以是闭集.12、设实函数,.证明：“”,,因,,那么对于,,,均有,从而,于是,所以.“”,,由于,那么,这样,从而,均有,即.P42页定理4P44页定理2定理3定理2：非空,,.证明：显然.,取,,有可见,
2、这样,.P45页第5.6题5、设非空,则在上一致连续.证明：,取,,只要,由于,,有,所以,在上一致连续.6、非空,且,;,.证明：显然,,且,;,.P54页定理（3）（4）P57页第57题5、设实函数在上连续,,证明.证明：因为,于是在上一致连续,那么,,当,时,.取,将进行等分,其分点为,记,,显然,,,于是,由的任意性,知.7、,证明必,,都有.证明：反证.假设,,使得,当然存在以有理数为端点的区间,由于至多有可数个,记作,有那么,这与条件不符,说明必,,都有.P65页定理5定理6P68页第45911题4、设,证明.又,证明.证明：因,有.又因,,有.5、设,,证明.证
3、明：因,,有,所以.P103页第2题2、证明当既是上又是上的非负可测函数时,也是上的非负可测函数.证明：由条件知,,,于是所以也是上的非负可测函数.P104页第611题6、设实函数,证明:,均有.证明：,,显然,下面证明.,因,,这样对于,,,均有,从而,于是,那么.由于,所以.11、设是上的可测函数,是上的连续函数,证明是上的可测函数.证明：,因,若,有由于,于是,所以.P117页第2题2、设,,证明.证明：,当,时,,于是,,有,因,有所以.课件第四章第四节倒数第2~5题3、定理：设,,则.证明：,若,,有,于是,从而,又因,有,所以.1、设,,,证明.证明：已知,,当,
4、,时,,由于,,,有,所以.2、设,且几乎处处有限,证明.证明：已知,,在上几乎处处有限,那么,,,,所以.3、设,证明.证明：已知,,那么,,,有,所以.
